Enunciado

Um modelo de foguete é lançado para cima a partir do repouso. Sua aceleração para os três primeiros segundos é a t = 18 t , e nesse ínterim o combustível acaba, e ele se transforma em um corpo em queda livre. Após 14 s o paraquedas do foguete se abre, e a velocidade (para baixo) diminui linearmente para - 5,5   m/s em 5   segundos. O foguete então cai até o solo naquela taxa.

(a) Determine a função posição   s e a função velocidade v (para todo instante t ). Esboce os gráficos de s e v .

(b) Em que instante o foguete atingiu sua altura máxima e qual é essa altura?

(c) Em que instante o foguete atinge a terra?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá um lançamento vertical de um foguete que, em seguida, cai com a ajuda de um paraquedas.

A aceleração a em relação ao tempo t nos três primeiros segundos é de:

a t = 18 t

Quando passa esses três segundos o combustível acaba e o corpo cai em queda livre.

Após 14 s o paraquedas do foguete se abre, e a velocidade (para baixo) diminui linearmente para - 5,5   m/s em 5   segundos... até chegar no solo.

Queremos determinar a função posição   s e a função velocidade v (para todo instante t ) e esboçar os seus gráficos.

A questão também quer que calculemos o instante t 1 em que o foguete atingiu sua altura máxima (e sua altura nesse momento).

Também queremos calcular o instante t 2 em que o foguete atinge a terra.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para 0 ≤ t ≤ 3 nós temos a t = 18 t .

Como v ' t = a t , a primitiva é:

v t = 9 t 2 + C

v 0 = 0 = C , então:

v t = 9 t 2

Uma vez que v t = s ' ( t ) , s é a primitiva de v , portanto:

s t = 3 t 3 + C

s 0 = 0 = C , então:

s t = 3 t 3

Notamos que v 3 = 81 e s 3 = 81 .

Passo 3

Para 3 < t ≤ 17 nós temos a t = - g = - 9,8   m / s ² . Como v ' t = a t , a primitiva é:

v t = - 9,8 ( t - 3 ) + C

v 3 = 81 = C , então:

v t = - 9,8 t - 3 + 81

Uma vez que v t = s ' ( t ) , s é a primitiva de v , portanto:

s t = - 4,9 t - 3 2 + 81 ( t - 3 ) + C

s 3 = 81 = C , então:

s t = - 4,9 t - 3 2 + 81 ( t - 3 ) + 81

Notamos que v 17 = - 56,2 e s 17 = 254,6 .

Passo 4

Para 17 < t ≤ 22 temos que a velocidade aumenta de - 56,2   m / s para - 5,5   m / s nesse período, logo:

a t = d v d t = - 5,5 - - 56,2 22 - 17 = 50,7 5 = 10,14

v t = 10,14 t - 17 - 56,2

Uma vez que v t = s ' ( t ) , s é a primitiva de v , portanto:

s t = 5,7 t - 17 2 - 56,2 ( t - 17 ) + 254,6

s 22 ≈ 116

Passo 5

Para t > 22 : v t = - 5,5

s t = - 5,5 t - 22 + C

s 22 ≈ 116 = C , então:

s t = - 5,5 t - 22 + 116

Portanto, até o foguete atingir a terra nós temos:

v t = 9 t 2                                                                             s e   0 ≤ t ≤ 3 - 9,8 t - 3 + 81                           s e   3 < t ≤ 17 10,14 t - 17 - 56,2                 s e   17 < t ≤ 22 - 5,5                                                         s e   t > 22

s t = 3 t 2                                                                                                                       s e   0 ≤ t ≤ 3 - 4,9 t - 3 2 + 81 ( t - 3 ) + 81                   s e   3 < t ≤ 17 5,7 t - 17 2 - 56,2 ( t - 17 ) + 254,6   s e   17 < t ≤ 22 - 5,5 t - 22 + 116                                               s e   t > 22

Passo 6

Para encontrar a altura máxima, nós pegamos o v ( t ) em 3 < t ≤ 17 e igualamos a 0 .

- 9,8 t - 3 + 81 = 0

- 9,8 t + 29,4 + 81 = 0

9,8 t = 110,4

t 1 = 11,27   s

A altura máxima é s t 1 = - 4,9 t 1 - 3 2 + 81 t 1 - 3 + 81 = - 335,13 + 669,87 + 81 = 415,74   m

Passo 7

O foguete atinge a terra quando s t = 0 , então:

s t = - 5,5 t - 22 + 116 = 0

5,5 t = 237

t ≈ 43   s

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

  1. v t = 9 t 2                                                                             s e   0 ≤ t ≤ 3 - 9,8 t - 3 + 81                           s e   3 < t ≤ 17 10,14 t - 17 - 56,2                 s e   17 < t ≤ 22 - 5,5                                                         s e   t > 22                                                                   s t = 3 t 2                                                                                                                       s e   0 ≤ t ≤ 3 - 4,9 t - 3 2 + 81 t - 3 + 81                   s e   3 < t ≤ 17 5,7 t - 17 2 - 56,2 t - 17 + 254,6   s e   17 < t ≤ 22 - 5,5 t - 22 + 116                                               s e   t > 22
  2. h = 415,74   m
  3. t ≈ 43   s
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Exercício: 53 – Calcule o problema de valor inicial determinando x e função de t: t 2 + 2 t d x d t = 2 x + 2,( x ,t0 ) x 1 = 1
Resolva o problema de valor inicial d y d t = e t sen ⁡ e t - 2 y ln ⁡ 2 = 0
Resolva o problema de valor inicial d y d x = 1 + 1 x y 1 = 3
Resolva o problema de valor inicial d 2 y d x 2 = 2 e - x y 0 = 1 y ' 0 = 0
Resolva o problema de valor inicial d y d t = e - t sec 2 ⁡ π e - t y ln ⁡ 4 = 2 / π