Enunciado

Use o gráfico da função f para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê .

  1. lim x → 0 - ⁡ f x (b) lim x → 0 + ⁡ f x (c) lim x → 0 ⁡ f ( x )

f x = 1 1 + e 1 x

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:

f x = 1 1 + e 1 x

Com isso, a questão quer que tracemos o seu gráfico a fim de dizer o valor de cada limite, se existir.

a) lim x → 0 - ⁡ f x

b) lim x → 0 + ⁡ f x

c) lim x → 0 ⁡ f ( x )

Se não existir, devemos explicar o porquê.

Lembrando que quando tem o sinal de menos, estamos calculando o limite de x tendendo a 0 pela esquerda. Quando tem o sinal de mais, estamos calculando o limite de x tendendo a 0 pela direita.

Também devemos lembra que pra um limite existe, os limites laterais naquele ponto devem existir e devem ser iguais.

Para isso, devemos traçar o gráfico com ajuda de algum software matemático para podermos analisar em seguida. Aqui iremos utilizar o GeoGebra para nos ajudar com o grafico.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

O gráfico de f é dado por:

Analisando um pouco o gráfico...

Repara que quando x está se aproximando de 0 pela esquerda, o valor de y está se aproximando de 1 .

Já pela esquerda, o valor de y está se aproximando de 0.

Então temos limites laterais diferentes. Podemos dizer até que temos uma descontinuidade na função (quando tem esses saltos e as partes do gráfico não se juntam).

Passo 3

  1. Para lim x → 0 - ⁡ f x , analisamos o gráfico começando pela esquerda, assim quando x → 0 - f x   se aproxima de   1 . Portanto:
  2. lim x → 0 - ⁡ f x = 1

  3. Para lim x → 0 + ⁡ f x , analisamos o gráfico começando pela direita, assim quando x → 0 + , f x   se aproxima de   0 . Portanto:
  4. lim x ��� 0 + ⁡ f x = 0

  5. Como os limites laterais são diferentes (observe os resultados obitdos em (a) e em (b)) e por definição temos que:

lim x → a ⁡ f x = L se e somente se lim x → a - ⁡ f x = L e lim x → a + ⁡ f x = L .

Concluimos que lim x → 0 ⁡ f ( x )   não existe.

Resposta

a) 1

b) 0

c) não existe

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