Enunciado

Tente estimar as coordenadas do ponto máximo e do ponto extremo esquerdo na curva x = t e t , y = t e - t . Então encontre as coordenadas exatas. Quais são as assíntotas dessa curva?

Passo 1

O problema fornece a equação paramétrica de uma curva:

x = t e t                         e                     y = t e - t

Para estimar o ponto máximo e o ponto extremo esquerdo da curva, vamos fazer um esboço. Usando o DESMOS (você pode usar o programa que quiser), obtive o seguinte:

Se você tiver curiosidade, o comando para traçar curva parametrizada no DESMOS é o seguinte:

Vendo o gráfico, vemos que o ponto máximo ocorre próximo de x = 2 enquanto o ponto extremo esquerdo acontece nas proximidades de y = - 2 .

Para encontrar o ponto mais à esquerda na curva, precisamos encontrar o valor de t para o qual o gráfico possui uma tangente vertical. Para encontrar o ponto mais alto na curva, precisamos encontrar o valor de t para o qual o gráfico possui uma tangente horizontal.

Então deveremos derivar x e y em relação a t , e para encontrarmos tangente horizontal, deveremos ter:

y ' t = 0

E

x ' t ≠ 0

Sendo então esse o ponto mais ‘alto’.

Já para o ponto mais a esquerda, isso irá ocorrer quando

x ' t = 0

E

y ' t ≠ 0

Passo 2

Para o ponto mais alto:

d y d t = d d t t ∙ e - t

Utilizando a regra do produto:

d y d t = e - t + t - 1 e - t

Agora iremos zerar:

e - t - t e - t = 0

t = 1

Então temos que o ponto mais alto é:

x t ,   y t = e 1 , 1 e

Para

t = 1

Passo 3

Para o ponto mais à esquerda:

d x d t = d d t t ∙ e t

d x d t = e t + t e t

Agora vamos zerar:

e t + t e t = 0

t = - 1

Então temos que o ponto mais à esquerda é:

x t ,   y t = - 1 e ,   - e 1 = - 1 e ,   - e

Para

t = - 1

Passo 4

Para as assíntotas, precisamos verificar o comportamento da função quando t se aproxima de mais ou menos infinito.

Usando a Regra de L'Hôpital, temos que lim t → ∞ ⁡ t e t tende a infinito para t   → ∞ e lim t → - ∞ ⁡ t e - t tende a menos infinito para t   → - ∞ , então o eixo x e o eixo y são assíntotas, respectivamente.

Resposta

e , 1 e               e             - 1 e ,   - e

y = 0               e                 x = 0

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