Enunciado

Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.

lim x → 0 ⁡ 5 x - 4 x 3 x - 2 x

Passo 1

Aqui a questão pede para primeiro esboçarmos o gráfico e no olhometro estimar o valor do limite pedido. Em seguida, aplicamos a regra de L’Hospital e comparamos o valor exato com o estimado.

Passo 2

O gráfico da função y = 5 x - 4 x 3 x - 2 x é esboçado a seguir

Vamos reter nossa atenção no entorno de x = 0 . Note que a função se aproxima de 0,55 . Vamos usar isso como estimativa para o limite.

Passo 3

Nosso próximo objetivo é calcular o valor exato do limite. Como qualquer número elevado a 0 é igual a 1, o limite é uma indeterminação do tipo 0/0. Desta forma, podemos aplicar a amada regra de L’Hospital!!!

Antes de aplicar a regra, vale tomar um cuidado: não estamos derivando e x , estamos derivando a x . Assim,

a x ' = a x ⋅ ln ⁡ a

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ 5 x - 4 x 3 x - 2 x = lim x → 0 ⁡ 5 x ln ⁡ 5 - 4 x ln ⁡ 4 3 x ln ⁡ 3 - 2 x ln ⁡ 2 = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 4 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ ( 5 / 4 ) ln ⁡ ( 3 / 2 ) ≈ 0,55

Vemos assim que nossa estimativa foi muito boa!!!

Resposta

ln ⁡ ( 5 / 4 ) ln ⁡ ( 3 / 2 ) .

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