Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 68
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
E aí, galerinha! 😁
Nesse problema temos apenas que calcular o limite
A questão pede para calcularmos o limite usando a regra de L’Hospital se for possível. Devemos então verificar se o limite é indeterminado e ver se a indeterminação é do tipo que admite a aplicação da regra.
Passo 2
Antes de pensar no limite, vamos usar que a propriedade logaritma :
Assim,
Desta forma, o limite que nos interessa é:
Passo 3
Vamos fazer a mudança de variável . Assim, e quando , . Desta forma,
Quando , , assim o limite é uma indeterminação do tipo . Podemos reescrevê-lo como
Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0: podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e denominador separadamente para evitar confusão:
Assim, pela regra de L’Hospital:
Podemos aplicar L’Hospital novamente, porém isso não é necessário.
Colocando em evidência:
Assim,
Resposta
.