Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos apenas que calcular o limite

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1

A questão pede para calcularmos o limite usando a regra de L’Hospital se for possível. Devemos então verificar se o limite é indeterminado e ver se a indeterminação é do tipo que admite a aplicação da regra.

Passo 2

Antes de pensar no limite, vamos usar que a propriedade logaritma y = e ln ⁡ y :

y = 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1 = e ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1 = e 2 x + 1 ⋅ ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5

Assim,

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1 = e lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 ⋅ ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5

Desta forma, o limite que nos interessa é:

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 ⋅ ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5

Passo 3

Vamos fazer a mudança de variável t = 2 x + 1 . Assim, 2 x = t - 1 e quando x → ∞ , t → ∞ . Desta forma,

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 ⋅ ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 = lim t → ∞ ⁡ t ⋅ ln ⁡ t - 4 t + 4

Quando t → ∞ , t - 4 t + 4 → 1 , assim o limite é uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 . Podemos reescrevê-lo como

lim t → ∞ ⁡ t ⋅ ln ⁡ t - 4 t + 4 = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t - 4 t + 4 1 / t

Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0: podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e denominador separadamente para evitar confusão:

ln ⁡ t - 4 t + 4 '

= 1 t - 4 t + 4 ⋅ t - 4 t + 4 '

= t + 4 t - 4 ⋅ 1 ⋅ t + 4 - 1 ⋅ t - 4 t + 4 2

= 8 ( t + 4 ) ( t - 4 )

1 t ' = - 1 t 2

Assim, pela regra de L’Hospital:

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t - 4 t + 4 1 / t = lim t → ∞ ⁡ 8 / ( t + 4 ) ( t - 4 ) - 1 / t 2 = lim t → ∞ ⁡ - 8 t 2 t 2 - 16

Podemos aplicar L’Hospital novamente, porém isso não é necessário.

Colocando t 2 em evidência:

lim t → ∞ ⁡ - 8 t 2 t 2 - 16

= lim t → ∞ ⁡ - 8 t 2 t 2 1 - 16 t 2

= lim t → ∞ ⁡ - 8 1 - 16 t 2 = - 8

Assim,

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1 = e - 8

Resposta

e - 8 .

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