Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = (1)/(x^2 - 4)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

y = (1)/(x^2 - 4) = (1)/((x + 2) (x - 2))

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero. Logo:
  2. D = ( - oo , - 2 ) uu ( - 2,2 ) uu ( 2 , oo )

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = - 1 // 4 . Para y = 0 , t e m o s :
  4. 0 = (1)/((x + 2) (x - 2))

    Podemos ver que a função nunca será igual a zero, pois não há raízes reais.

  5. Checando simetria:
  6. f (- x) = f (x) -> (1)/(x^2 - 4) = (1)/(x^2 - 4)

    Portanto, f(x) é uma função par, isto é, espelhada no eixo y.

  7. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  8. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Vamos lá:

    underset(x -> oo)(lim) (1)/(x^2 - 4) = 0

    underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2 - 4) = 0

    Logo, em y = 0 temos assíntotas horizontais.

    Assíntotas Verticais (checar nos pontos que o denominador tende a zero):

    underset(x -> 2^+)(lim) (1)/(x^2 - 4) = oo

    underset(x -> 2^-)(lim) (x)/(x^2 - 4) = - oo

    underset(x -> - 2^+)(lim) (x)/(x^2 - 4) = oo

    underset(x -> - 2^-)(lim) (x)/(x^2 - 4) = - oo

    Logo, em x = +- 2 temos assíntotas verticais.

  9. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  10. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = - (2 x)/((x^2 - 4)^2)

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> - (2 x)/((x^2 - 4)^2) > 0

    f^' (x) > 0 -> x in (- oo , 0)

    Decrescente:

    f^' (x) < 0 -> - (2 x)/((x^2 - 4)^2) < 0

    f^' (x) < 0 -> x in (0 , oo)

  11. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .
  12. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Vamos calcular a segunda derivada de f(x):

    f^(' ') (x) = (6 x + 8)/((x^2 - 4)^3)

    Na raíz de f^' (x) -> x = 0 :

    f^(' ') (0) = - 0,125 -> p o n t o d e m á x i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f (0) = - 0,25 -> m a x i m o

  13. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f’’(x) for igual a zero.

f^(' ') (x) = (6 x + 8)/((x^2 - 4)^3)

f^(' ') (x) > 0 -> x in (- oo , - 2) e (2 , oo)

f^(' ') (x) < 0 -> x in (- 2,2)

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (- oo , - 2) e (2 , oo)

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in (- 2,2)

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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