Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = x^3 + 3 x^2

Passo 1

Opa! Bora resolver essa questão?! O enunciado nos da uma função:

y = x^3 + 3 x^2

E pede pra a gente traçar essa curva, utilizando os guias desta secção do livro. Aqui não tem muito mistério, vamos seguir uma receitinha de bolo!

O primeiro passo é determinar o domínio da função. A nossa função é polinomial, portanto seu domínio é o conjunto dos números reais. D = I R .

Passo 2

Agora devemos descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x . Para x = 0 , temos y = 0 . Para y = 0 , t e m o s :

0 = x^3 + 3 x^2 = x^2 ( x + 3 )

Logo, as raízes são 0 e - 3 .

Passo 3

Vamos verificar a existência de simetria, lembrando que:

f (- x) = f (x) -> f u n ç ã o p a r

f (- x) = - f (x) -> f u n ç ã o í m p a r

f (x + p) = f (x) -> f u n ç ã o p e r i ó d i c a

Testando:

f (- x) != f (x) -> - x^3 + 3 x^2 != x^3 + 3 x^2

f (- x) != - f (x) -> - x^3 + 3 x^2 != - x^3 - 3 x^2

Como f é polinomial, ela não é periódica.

Portanto, não há simetria.

Passo 4

Temos que verificar também a existência de assíntotas, mas como nossa função é polinomial não precisamos nos preocupar com isso. Não há assíntotas.

Passo 5

Agora é a hora de olharmos para intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

Vamos lá:

f^' (x) = 3 x^2 + 6 x = 3 x ( x + 2 )

Crescente:

f^' (x) > 0 -> 3 x (x + 2) > 0

f^' (x) > 0 -> x in (- oo , - 2) e (0 , oo)

Decrescente:

f^' (x) < 0 -> 3 x (x + 2) < 0

f^' (x) < 0 -> x in (- 2 , 0)

Passo 6

Para encontramos pontos de máximo e mínimo temos que conhecer as raízes de f^' ( x ) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .

S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c �� é p o n t o d e m í n i m o

S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

Vamos lá:

f^(' ') (x) = 6 x + 6

Nas raízes de f^' (x) -> x = 0 e x = - 2 :

f^(' ') (0) = 6 -> p o n t o d e m í n i m o

f^(' ') (- 2) = - 6 -> p o n t o d e m á x i m o

Voltando na equação original de f ( x ) :

f (0) = 0

f (- 2) = 4

Passo 7

Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f’’(x) for igual a zero.

f^(' ') (x) = 6 x + 6

f^(' ') (x) > 0 -> x > - 1

f^(' ') (x) < 0 ��� x < - 1

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> ( - 1 , oo )

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> ( - oo , - 1 )

P o n t o d e i n f l e x ã o -> x = - 1

Passo 8

Finalmente podemos esboçar a curva! Vamos fazer um breve resuminho de tudo que descobrimos sobre ela:

  • D = I R ;
  • A curva intercepta os eixos em (0,0) e (- 3,0) ;
  • Não temos simetria;
  • Não temos assíntotas;
  • Intervalo de crescimento: x in (- oo , - 2) e (0 , oo) , Intervalo de decrescimento: x in (- 2 , 0) ;
  • Ponto máximo ( - 2,4 ) , ponto mínimo ( 0,0 ) ;
  • Concavidade pra cima : x in ( - 1 , oo ) ; concavidade pra baixo: x in ( - oo , - 1 ) , ponto de inflexão: x = 1

Desenhando:

Resposta

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