Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 1
Use os guias desta seção para traçar a curva.
Passo 1
Opa! Bora resolver essa questão?! O enunciado nos da uma função:
E pede pra a gente traçar essa curva, utilizando os guias desta secção do livro. Aqui não tem muito mistério, vamos seguir uma receitinha de bolo!
O primeiro passo é determinar o domínio da função. A nossa função é polinomial, portanto seu domínio é o conjunto dos números reais..
Passo 2
Agora devemos descobrir as interceptações da curva nos eixos e . Para , temos . Para
Logo, as raízes são e -.
Passo 3
Vamos verificar a existência de simetria, lembrando que:
Testando:
Como f é polinomial, ela não é periódica.
Portanto, não há simetria.
Passo 4
Temos que verificar também a existência de assíntotas, mas como nossa função é polinomial não precisamos nos preocupar com isso. Não há assíntotas.
Passo 5
Agora é a hora de olharmos para intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
Vamos lá:
Crescente:
Decrescente:
Passo 6
Para encontramos pontos de máximo e mínimo temos que conhecer as raízes de e avaliar se há troca de sinal de Ou então avaliar o sinal da segunda derivada nas raízes de
Vamos lá:
Nas raízes de
Voltando na equação original de
Passo 7
Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.
Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f’’(x) for igual a zero.
Logo, os intervalos são:
Passo 8
Finalmente podemos esboçar a curva! Vamos fazer um breve resuminho de tudo que descobrimos sobre ela:
- ;
- A curva intercepta os eixos em e ;
- Não temos simetria;
- Não temos assíntotas;
- Intervalo de crescimento: , Intervalo de decrescimento: ;
- Ponto máximo , ponto mínimo ;
- Concavidade pra cima : ; concavidade pra baixo: , ponto de inflexão:
Desenhando: