Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = (x)/(x^2 - 4)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero. Logo:
  2. D = ( - oo , - 2 ) uu ( - 2,2 ) uu ( 2 , oo )

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = 0 .
  4. Checando simetria:
  5. f (- x) != f (x) -> (- x)/(x^2 - 4) != (x)/(x^2 - 4)

    f (- x) = - f (x) -> (- x)/(x^2 - 4) = (- x)/(x^2 - 4)

    Portanto, é uma função ímpar.

  6. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  7. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Vamos lá:

    underset(x -> oo)(lim) (x)/(x^2 - 4) = 0

    underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x^2 - 4) = 0

    Logo, em y = 0 temos assíntotas horizontais

    Assíntotas Verticais (checar nos pontos que o denominador tende a zero):

    underset(x -> 2^+)(lim) (x)/(x^2 - 4) = oo

    underset(x -> 2^-)(lim) (x)/(x^2 - 4) = - oo

    underset(x -> - 2^+)(lim) (x)/(x^2 - 4) = oo

    underset(x -> - 2^-)(lim) (x)/(x^2 - 4) = - oo

    Logo, em x = +- 2 temos assíntotas verticais.

  8. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  9. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = ((x^2 - 4) - x (2 x))/((x^2 - 2)^2) = - (x^2 + 4)/((x^2 - 2)^2)

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> - (x^2 + 4)/((x^2 - 2)^2) > 0

    N ã o h á n e n h u m v a l o r d e x q u e s a t i s f a ç a e s t a i n e q u a ç ã o

    Decrescente:

    f^' (x) < 0 -> - (x^2 + 4)/((x^2 - 2)^2) < 0

    f^' (x) < 0 -> x in D ( - oo , - 2 ) uu ( - 2,2 ) uu ( 2 , oo )

  10. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .
  11. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Entretanto, como não há troca de sinal para f ' ( x ) , então não há pontos de máximos e mínimos.

  12. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f’’(x) for igual a zero.

f^(' ') (x) = - ((x^2 - 4)^2 (2 x) - (x^2 + 4) 2 (x^2 - 4) (2 x))/([(x^2 - 4)^2]^2)

f^(' ') (x) = - (2 x (x^2 - 4) [(x^2 - 4) - 2 (x^2 + 4)])/([(x^2 - 4)^2]^2)

f^(' ') (x) = - (2 x ( - x^2 - 12 ))/((x^2 - 4)^3)

f^(' ') (x) = (2 x ( x^2 + 12 ))/((x + 2)^3 (x - 2)^3)

Analisando os intervalos:

f^(' ') (x) > 0 -> x in (- 2,0) e (2 , oo)

f^(' ') (x) < 0 -> x in (- oo , - 2) e (0,2)

f^(' ') (x) = 0 -> x = 0

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (- 2,0) e (2 , oo)

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in (- oo , - 2) e (0,2)

P o n t o s d e i n f l e x ã o -> x = 0

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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