Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = e^(arctan(x))

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais, pois não há nenhuma indeterminação.
  2. D = I R

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = 1 . Para y = 0 ,   t e m o s :
  4. 0 = e arctan ⁡ x

    Esta condição nunca será satisfeita.

  5. Checando simetria:
  6. f - x ≠ f x → e arctan ⁡ - x ≠ e arctan ⁡ x

    f - x ≠ - f x → e arctan ⁡ - x ≠ - e arctan ⁡ x

    Portanto, não há simetria na função.

  7. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  8. Assíntotas Horizontais:

    lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = L

    lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = L

    Vamos lá:

    lim x → ∞ ⁡ e arctan ⁡ x = e π / 2

    lim x → - ∞ ⁡ e arctan ⁡ x = e - π / 2

    Logo, em y = e π / 2   ; y = e - π / 2 temos assíntotas horizontais.

    Não temos assíntotas Verticais .

  9. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  10. f ' x > 0 → c r e s c e n t e

    f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f ' x = e arctan ⁡ x x 2 + 1  

    Crescente:

    f ' x > 0 → e arctan ⁡ x x 2 + 1 > 0

    f ' x > 0 → x   ∈ - ∞ ,   ∞    

    Não haverá intervalos decrescentes.

  11. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .
  12. S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

    S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

    Como f ' ( x ) não possui raízes nem troca de sinal, não haverá ponto de máximos ou mínimos.

  13. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f ' ' x = 1 + x 2 e arctan ⁡ x 1 1 + x 2 - e arctan ⁡ x 2 x 1 + x 2 2

f ' ' x = e arctan ⁡ x 1 - 2 x 1 + x 2 2

e arctan ⁡ x 1 - 2 x 1 + x 2 2 > 0

f ' ' x > 0 → x   ∈ - ∞ , 1 2  

e arctan ⁡ x 1 - 2 x 1 + x 2 2 < 0

f ' ' x < 0 → x   ∈ 1 2 , ∞  

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - ∞ , 1 2

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ 1 2 , ∞  

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = 1 2

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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