Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = 1/x + ln(x)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero e o ln não está definido. Então não podemos ter números negativos e o zero:
  2. D = 0 , ∞

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para y = 0 ,   t e m o s :
  4. 0 = 1 x + ln ⁡ x

    - 1 = x ln ⁡ x

    e - 1 = x e x

    Como podemos ver, esta equação nunca será satisfeita nos IR. Logo não temos interceptações.

  5. Checando simetria:
  6. f - x ≠ f x → - 1 x + ln ⁡ - x ≠ 1 x + ln ⁡ x

    f - x ≠ - f x → - 1 x + ln ⁡ - x ≠ - 1 x - ln ⁡ x

    Portanto, não há simetria na função.

  7. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  8. Assíntotas Horizontais:

    lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = L

    lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = L

    Vamos lá:

    lim x → ± ∞ ⁡ 1 x + ln ⁡ x = 1 + x ln ⁡ x x = ∞ ∞

    Como temos uma indeterminação, devemos aplicar a regra de l’Hopital (derivar em cima e embaixo):

    lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 1 = ∞

    lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 1 = ∄

    Logo, não temos assíntotas horizontais.

    Para checar assíntotas Verticais, vamos fazer o limite tendendo no valor em que o denominador vale zero:

    lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x = 1 0 + ln ⁡ 0 = ∞

    Lembrando que lnx tende a - ∞ num grau muito menor que 1 x .

  9. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  10. f ' x > 0 → c r e s c e n t e

    f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f ' x = - 1 x 2 + 1 x

    Crescente:

    f ' x > 0 → - 1 x 2 + 1 x > 0

    f ' x > 0 → x   ∈   1 ,   ∞  

    Decrescente:

    f ' x < 0 → - 1 x 2 + 1 x < 0

    f ' x < 0 → x   ∈ 0 , 1    

  11. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .
  12. S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

    S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

    Vamos lá:

    f ' ' x = 2 x 3 - 1 x 2

    Na raíz de f ' x → x = 1 :

    f ' ' 1 = 1 → p o n t o   d e   m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f 1 = 1

  13. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f ' ' x = 2 x 3 - 1 x 2

2 x 3 - 1 x 2 > 0

f ' ' x > 0 → x   ∈   0 , 2

2 x 3 - 1 x 2 < 0

f ' ' x < 0 → x   ∈   2 ,   ∞

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈   0 , 2

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈   2 ,   ∞

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = 2

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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