Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = (1)/(x) + ln x

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero e o ln não está definido. Então não podemos ter números negativos e o zero:
  2. D = (0 , oo)

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para y = 0 , t e m o s :
  4. 0 = (1)/(x) + ln x

    - 1 = x ln x

    e^(- 1) = x e^x

    Como podemos ver, esta equação nunca será satisfeita nos IR. Logo não temos interceptações.

  5. Checando simetria:
  6. f (- x) != f (x) -> - (1)/(x) + ln - x != (1)/(x) + ln x

    f (- x) != - f (x) -> - (1)/(x) + ln - x != - (1)/(x) - ln x

    Portanto, não há simetria na função.

  7. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  8. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Vamos lá:

    underset(x -> +- oo)(lim) (1)/(x) + ln x = (1 + x ln x)/(x) = (oo)/(oo)

    Como temos uma indeterminação, devemos aplicar a regra de l’Hopital (derivar em cima e embaixo):

    underset(x -> oo)(lim) (ln x + 1)/(1) = oo

    underset(x -> - oo)(lim) (ln x + 1)/(1) = ∄

    Logo, não temos assíntotas horizontais.

    Para checar assíntotas Verticais, vamos fazer o limite tendendo no valor em que o denominador vale zero:

    underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(x) + ln x = (1)/(0) + ln 0 = oo

    Lembrando que lnx tende a - oo num grau muito menor que (1)/(x) .

  9. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  10. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = - (1)/(x^2) + (1)/(x)

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> - (1)/(x^2) + (1)/(x) > 0

    f^' (x) > 0 -> x in (1 , oo)

    Decrescente:

    f^' (x) < 0 -> - (1)/(x^2) + (1)/(x) < 0

    f^' (x) < 0 -> x in (0 , 1)

  11. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .
  12. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Vamos lá:

    f^(' ') (x) = (2)/(x^3) - (1)/(x^2)

    Na raíz de f^' (x) -> x = 1 :

    f^(' ') (1) = 1 -> p o n t o d e m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f (1) = 1

  13. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f^(' ') (x) = (2)/(x^3) - (1)/(x^2)

(2)/(x^3) - (1)/(x^2) > 0

f^(' ') (x) > 0 -> x in (0 , 2)

(2)/(x^3) - (1)/(x^2) < 0

f^(' ') (x) < 0 -> x in (2 , oo)

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (0 , 2)

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in (2 , oo)

P o n t o s d e i n f l e x ã o -> x = 2

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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