Enunciado

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

y = x ; y = 1

Passo 1

Temos a seguinte imagem gráfica:

Temos que y = x ;   logo y = - x e y = x . Então podemos concluir que nossa f x = y - ( - y ) .

Podemos perceber no gráfico que a variação no eixo y é 0 < y ≤ 1

Queremos usar o método da casca, porém a rotação agora é em torno do eixo x, logo, devemos usar a seguinte fórmula:

V =   ∫ a b 2 π y   f y d y

Em que f y =   =   y - - y = 2 y .

Substituindo da fórmula acima, temos:

V =   ∫ 0 1 2 π y   (   2 y ) d y

= 2 π ∫ 0 1 ( 2 y 2 )   d y = 4 π y 3 3 1 0

= 4 π 1 3 = 4 π 1 3 = 4 π 3

Resposta

4 π 3

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