Enunciado

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.

22 - y =   x ,   y = 0   ,   y = 2 - x

Passo 1

Como já possuímos um dos limites de integração, o qual a figura parte do 0, teremos que encontrar outro ponto positivo, assim:

2 - y =   y 2 ,   - y 2 + 2 - y = 0

Resolva a equação do segundo grau, assim obteremos: - 2   e   1

Devemos considerar apenas o valor positivo:

Assim os limites serão a = 0 e b = 1.

Colocando em função de x:

y = 2 - x ,   x = 2 - y

y =   x ,   x = y 2

Inserindo assim na integral:

V =   2 π ∫ 0 1 r a i o   d a   c o n c h a - a l t u r a   d a   c o n c h a   d y

Assim:

V = 2 π ∫ 0 1 y 2 - y - y 2   d y

V = 2 π ∫ 0 1 2 y - y 2 - y 3   d y

Passo 2

Resolvendo a integral:

V = 2 π 2 y 2 2 - y 3 3 - y 4 4 0 1

V = 2 π y 2 - y 3 3 - y 4 4 0 1

Resolvendo os limites de integração teremos:

2 π 1 2 - 1 3 3 - 1 4 4 - 0 2 - 0 3 3 - 0 4 4 = 2 π 1 - 1 3 - 1 4

Passo 3

Resolvendo os parênteses e multiplicando por 2 π

mmc: 3,4 = 12

2 π 12 - 4 - 3 12 =   2 π 5 12 = 10 π 12 = 5 π 6   u . v .

Resposta

5 π 6   u . v

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Seja g x =tan 2 ⁡ x x 1 0 , x ≤ π 4 Mostre que x g x = ( tan ⁡ x ) 2; 0 ≤ x ≤ π 4 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y na figura a seguir:
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: y = x ; y = 2 x ; y = 2
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Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: x =y; x = - y ; y = 2
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: x =2 y - y 2 ; x = 0