Enunciado

Você é o responsável pela drenagem e pelo reparo do tanque de armazenamento mostrado a seguir. O tanque é um hemisfério com raio de 10   p é s , cheio de benzeno, cujo peso específicoé 56 l b p é 3 . Uma empresa que você contatou garante que pode esvaziar o tanque a um custo de 1 / 2   c e n t a v o   p o r   l b - p é   d e   t r a b a l h o . Determine o trabalho necessário para esvaziar o tanqueao se bombear o benzeno até um tubo de saída localizado a 2   p é s acima do tanque. Se você tiver $   5000 calculado para o trabalho, poderá contratar a empresa?

Passo 1

A primeira coisa que precisamos entender é o trabalho não é igual para cada altura da esfera. Afinal o raio dela vai variando conforme y varia.

Então precisamos transformar esse Volume numa diferencial.

Passo 2

Vamos relembrar algumas coisas que sabemos

W =   ∫ a b F   d x

Sabemos que o peso especifico é 56 l b p é 3 , então precisamos agora achar o volume, que assim obtemos a nossa Força.

V   = π     r a i o   2   .   e s p e s s u r a  

Vamos pensar nessa cúpula. Sabemos que a equação da esfera é

x 2 + y 2 + z 2 = 100

Isso quer dizer que no plano X Z   o circulo que obtemos em cada altura de y é :

x 2 + z 2 = 100 - y 2

Se tomarmos a raiz dos dois lados, encontramos o raio em cada altura de y

x 2 + z 2 = 100 - y 2

Então nosso volume vai ser

V   = π     100 - y 2   2   . d y  

Beleza. Encontramos a parte mais difícil. Então nossa força será

F =   56 l b p é 3   .     π     100 - y 2   2   . d y   p é 3  

F =   56   π ( 100 - y 2 )   . d y

Para encontrarmos esse trabalho só precisamos encontrar esse d x que podemos assumir como a distância entre o ponto de onde vamos sugar o liquido, até a altura y que estamos calculando. Então podemos dizer que essa distância é

12 - y

Pronto. Já temos tudo o que precisamos para calcular

Passo 3

W   =   ∫ a b F   d x  

W   =   ∫ 0 10 56   π 100 - y 2 . 12 - y d y  

= 56 π ⋅ ∫ 0 10 1200 - 100 y - 12 y 2 + y 3 d y

=   56 π       1200 y - 50 y 2 - 4 y 3 + y 4 4 y = 0 10

= 56 π   12000 - 5000 - 4000 + 1 4 10000

=   96761 1

Um numero beeeem alto. Agora temos que lembrar que temos um orçamento fixo. Só podemos gastar 5000 e cada Lb . Pé equivalia a R $   0,005

Vamos multiplicar e ver se podemos contratar o serviço

96761 1 *   0,005 = 4.838,06  

Show. Estamos dentro do que podemos gastar. Beleza terminamos por aqui. Te encontro na próxima resolução. Até mais : )

Resposta

W =   96761 1   L b   .   p é

  R $   4.838,06  

Dentro da margem de gastos

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