Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . Esboce a região e uma casca típica.

y = x 3 / 2 ,     y = 8 ,     x = 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pela seguinte curva dada:

y = x 3 / 2

Para y = 8 e x = 0 .

Para isso, devemos utilizar o método das cascas cilíndricas. Mas que método é esse???

Esse método diz que o volume V de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y sob a curva y = f x de a até b é:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Nesse sentido, aplicando o método das cascas cilíndricas, temos:

V = ∫ 0 8 2 π ⋅ y ⋅ y 2 3 d y ∴

V = ∫ 0 8 2 π ⋅ y 5 3   d y ∴

V = 2 π ⋅ 3 8 ⋅ y 8 3 0 8 ∴

V = 2 π ⋅ 3 8 ⋅ 256 ∴

V = 192 π

Passo 3

Assim, esboçando a região e a casca típica obtida pela rotação, temos:

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

192 π

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Resolva o Exercício 16, se os dois planos estiverem em lados diferentes opostos em relação ao centro da esfera, mas todos os demais permanecem os mesmos.
Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva de y = | x - 2 | , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 4 , em torno do eixo x .
Use integração para encontrar o volume de sum segmento de uma esfera, se ela tiver um raio de r unidades e se a altura do segmento for h unidades.
A base do sólido é a região encerrada por um círculo tendo um raio de r unidades, e toda a secção plana perpendicular a um diâmetro fixo da base é um quadrado cuja diagonal é uma corda do círculo. Ach