Enunciado

Use o método de Newton com a aproximação inicial x 1 = - 1 para achar x 2 , a segunda aproximação da raiz da equação x 3 + x + 3 = 0 . Faça o gráfico da função e da reta tangente no ponto - 1,1 . Usando este gráfico explique como o método funciona neste caso.

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 3 + x + 3 ' = 3 x 3 - 1 + x 1 - 1 + 0 = 3 x 2 + 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 3 + x n + 3 3 x n 2 + 1

Como queremos x 2 vamos usar n = 1 , e já que já temos que x 1 = - 1 não nos falta nada para substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 3 + x 1 + 3 3 x 1 2 + 1 = - 1 - - 1 3 + - 1 + 3 3 - 1 2 + 1 = - 1 - - 1 - 1 + 3 3 + 1 = - 1 - 1 4 = - 1,2 5

Passo 4

Vamos achar a reta tangente para poder traçar ela, temos dois pontos - 1,1 e - 1,25,0 , vamos então jogar os dois pontos na fórmula da reta para achar a inclinação:

y - y 0 = m x - x 0 → 0 - 1 = m - 1,25 - - 1 → - 1 = m - 0,25 → m = 4

Pronto, já temos a equação da reta:

y - 1 = 4 x - - 1 → y = 1 + 4 x + 1 = 1 + 4 x + 4 = 5 + 4 x

Passo 5

Vamos agora ver o gráfico:

O gráfico mostra a geometria atrás do método de Newton, como f ' - 1 = 4 , a reta tangente y = x 3 + x + 3 em - 1,1 tem equação igual a y = 5 + 4 x , e o zero dessa reta está na aproximação x 2 = - 1,25 .

Resposta

x 2 = - 1,2 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Esboce o gráfico. y = x 2 + 2 x + 5
Esboce o gráfico. f ( x ) = x 2 x 2 - x - 2
Esboce o gráfico. y = x - 1 x 2
Esboce o gráfico. y = x 2 - x + 1 x 2