Esboce o gráfico.

y = (x^2 - x + 1) / (x^2)

Passo 1

Se x estiver no domínio da função, então:

x 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

Vamos derivar para achar os intervalos de crescimento e decrescimento:

y ' = 2 x - 1 x 2 - x 2 - x + 1 2 x x 4 = x - 2 x 3

Sendo assim, teremos crescimento quando y ' > 0 , ou seja:

x < 0 ou x > 2

E decrescimento quando:

0 < x < 2

Desse modo, x = 2 corresponderá a um ponto de mínimo local.

Passo 2

Para estudar a concavidade, vamos derivar novamente:

y ' ' = x 3 - x - 2 3 x 2 x 6 = 2 3 - x x 4

Sendo assim, teremos concavidade para cima quando y ' ' > 0 , ou seja:

x < 3

E concavidade para baixo quando:

x > 3

Desse modo, x = 3 é ponto de inflexão.

Passo 3

Agora vamos buscar assíntotas horizontais, calculando os seguintes limites:

lim x → ± ∞ ⁡ y = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - x + 1 x 2 = 1

Ou seja, nos dois extremos do domínio teremos retas assíntotas horizontais y = 1 .

Como x = 0 não pertence ao domínio da função, vamos calcular os seguintes limites laterais, a fim de achar assíntotas verticais:

lim x → 0 + ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ x 2 - x + 1 x 2 = + ∞

lim x → 0 - ⁡ y = lim x → 0 - ⁡ x 2 - x + 1 x 2 = + ∞

Desse modo, temos a assíntota vertical x = 0 .

Passo 4

Agora sim já temos um bocado de informação sobre o gráfico da função. Bora fazer o esboço?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados