Enunciado

Esboce o gráfico.

y = (x^2 - x + 1)/(x^2)

Passo 1

Se x estiver no domínio da função, então:

x^2 != 0 => x != 0

Vamos derivar para achar os intervalos de crescimento e decrescimento:

y^' = ((2 x - 1) x^2 - (x^2 - x + 1) 2 x)/(x^4) = (x - 2)/(x^3)

Sendo assim, teremos crescimento quando y^' > 0 , ou seja:

x < 0 ou x > 2

E decrescimento quando:

0 < x < 2

Desse modo, x = 2 corresponderá a um ponto de mínimo local.

Passo 2

Para estudar a concavidade, vamos derivar novamente:

y^(' ') = (x^3 - (x - 2) 3 x^2)/(x^6) = (2 (3 - x))/(x^4)

Sendo assim, teremos concavidade para cima quando y^(' ') > 0 , ou seja:

x < 3

E concavidade para baixo quando:

x > 3

Desse modo, x = 3 é ponto de inflexão.

Passo 3

Agora vamos buscar assíntotas horizontais, calculando os seguintes limites:

underset(x -> +- oo)(lim) y = underset(x -> +- oo)(lim) (x^2 - x + 1)/(x^2) = 1

Ou seja, nos dois extremos do domínio teremos retas assíntotas horizontais y = 1 .

Como x = 0 não pertence ao domínio da função, vamos calcular os seguintes limites laterais, a fim de achar assíntotas verticais:

underset(x -> 0^+)(lim) y = underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 - x + 1)/(x^2) = + oo

underset(x -> 0^-)(lim) y = underset(x -> 0^-)(lim) (x^2 - x + 1)/(x^2) = + oo

Desse modo, temos a assíntota vertical x = 0 .

Passo 4

Agora sim já temos um bocado de informação sobre o gráfico da função. Bora fazer o esboço?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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