Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação corretas até a oitava casa decimal. Comece fazendo um gráfico para encontrar a primeira aproximação inicial.

ln ⁡ 4 - x 2 = x

Passo 1

Queremos encontrar as raízes da função:

f x = ln ⁡ ( 4 - x 2 ) - x

Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Temos:

f x = ln ⁡ ( 4 - x 2 ) - x

f ' x = 1 4 - x 2 - 2 x - 1 = - 2 x 4 - x 2 - x

Então a fórmula fica:

x n + 1 = x n + ln ⁡ ( 4 - x n 2 ) - x n 2 x n 4 - x n 2 + x n

Agora basta escolher uma aproximação inicial adequada, e então aplicar a fórmula até os resultados não diferirem na sexta casa decimal.

Passo 2

Para escolher o valor inicial olhamos um esboço das funções ln ⁡ ( 4 - x 2 ) e x .

Temos duas raízes, ummuito próxima de -2 e uma muito próxima de 1. Usaremos para a primeira raiz uma aproximação x 1 = - 1,9 , e para o segundo x 1 = 1 . Não usamos o valor -2 pois a derivada não existe pra esse valor.

Passo 3

Vamos calcular a primeira raiz. Calculamos as próximas aproximações:

x 1 = - 1.9

x 2 = - 1.9 + ln ⁡ 4 - - 1.9 2 - - 1.9 2 - 1.9 4 - - 1.9 2 - 1.9 = - 1.9823106517

x 3 = - 1.9823106517 + ln ⁡ 4 - - 1.9823106517 2 - - 1.9823106517 2 - 1.9823106517 4 - - 1.9823106517 2 - 1.9823106517

= - 1.9708003157

x 4 = - 1.9708003157 + ln ⁡ 4 - - 1.9708003157 2 - - 1.9708003157 2 - 1.9708003157 4 - - 1.9708003157 2 - 1.9708003157

= - 1.9656891030

x 5 = - 1.9656891030 + ln ⁡ 4 - - 1.9656891030 2 - - 1.9656891030 2 - 1.9656891030 4 - - 1.9656891030 2 - 1.9656891030

= - 1.9647518159

x 6 = - 1.9647518159 + ln ⁡ 4 - - 1.9647518159 2 - - 1.9647518159 2 - 1.9647518159 4 - - 1.9647518159 2 - 1.9647518159

= - 1.9646472314

x 7 = - 1.9646472314 + ln ⁡ 4 - - 1.9646472314 2 - - 1.9646472314 2 - 1.9646472314 4 - - 1.9646472314 2 - 1.9646472314

= - 1.9646367490

x 8 = - 1.9646367490 + ln ⁡ 4 - - 1.9646367490 2 - - 1.9646367490 2 - 1.9646367490 4 - - 1.9646367490 2 - 1.9646367490

= - 1.9646357113

x 9 = - 1.9646357113 + ln ⁡ 4 - - 1.9646357113 2 - - 1.9646357113 2 - 1.9646357113 4 - - 1.9646357113 2 - 1.9646357113

= - 1.9646356087

x 10 = - 1.9646356087 + ln ⁡ 4 - - 1.9646356087 2 - - 1.9646356087 2 - 1.9646356087 4 - - 1.9646356087 2 - 1.9646356087

= - 1.9646355985

x 11 = - 1.9646355985 + ln ⁡ 4 - - 1.9646355985 2 - - 1.9646355985 2 - 1.9646355985 4 - ( - 1.9646355985 ) 2 - 1.9646355985

= - 1.9646355975

Como x 10 e x 11 não diferem até a oitava casa decimal:

r 1 = - 1.96463559

Passo 4

Fazemos o mesmo procedimento para achar a outra raiz:

x 1 = 1

x 2 = 1 + ln ⁡ ( 4 - 1 2 ) - 1 2 ( 1 ) 4 - 1 2 + 1 = 1.0591673732

x 3 = 1.0591673732 + ln ⁡ ( 4 - 1.0591673732 2 ) - 1.0591673732 2 ( 1.0591673732 ) 4 - 1.0591673732 2 + 1.0591673732 = 1.0580451297

x 4 = 1.0580451297 + ln ⁡ ( 4 - 1.0580451297 2 ) - 1.0580451297 2 ( 1.0580451297 ) 4 - 1.0580451297 2 + 1.0580451297 = 1.0580076556

x 5 = 1.0580076556 + ln ⁡ ( 4 - 1.0580076556 2 ) - 1.0580076556 2 ( 1.0580076556 ) 4 - 1.0580076556 2 + 1.0580076556 = 1.0580064416

x 6 = 1.0580064416 + ln ⁡ ( 4 - 1.0580064416 2 ) - 1.0580064416 2 ( 1.0580064416 ) 4 - 1.0580064416 2 + 1.0580064416 = 1.0580064024

x 7 = 1.0580064024 + ln ⁡ 4 - 1.0580064024 2 - 1.0580064024 2 1.0580064024 4 - 1.0580064024 2 + 1.0580064024 = 1.0580064011

Como x 6 e x 7 não diferem até a oitava casa decimal:

r 2 = 1.05800640

Resposta

r 1 = - 1.96463559

r 2 = 1.05800640

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