Enunciado

Esboce o gráfico.

f (x) = root(3)(x^3 - x)

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Antes de começar a esboçar qualquer gráfico é importante a gente saber qual o domínio dele.

Repara que é uma raiz é cúbica e não quadrada, ou seja, não tem problema seu interior ser negativo, logo

D_f = R

Como não existe um ponto que dê problema na função, não vamos ter candidatos a assíntotas verticais.

Então agora vamos verificar se há assíntotas horizontais calculando os limites e depois derivar para avaliar as concavidades!

Passo 2

Pras horizontais no entanto, analisamos o resultado dos limites:

underset(x -> +- oo)(lim) root(3)(x^3 - x) = underset(x -> +- oo)(lim) (x^3 - x)^((1)/(3))

Colocando x^3 em evidência,

= underset(x -> +- oo)(lim) (x^3 * (1 - (1)/(x^2)))^((1)/(3)) = underset(x -> +- oo)(lim) x * (1 - (1)/(x^2))^((1)/(3))

Agora vamos escrever o limite como um produto

= underset(x -> +- oo)(lim) x * underset(x -> +- oo)(lim) (1 - (1)/(x^2))^((1)/(3))

Repara que o segundo limite vai ser igual a 1

= underset(x -> +- oo)(lim) x * [underset(x -> +- oo)(lim) (1 - (1)/(oo))^((1)/(3))] = underset(x -> +- oo)(lim) x * 1

Por fim:

underset(x -> +- oo)(lim) root(3)(x^3 - x) = underset(x -> +- oo)(lim) x = {[[+ oo , s e x -> + oo],[- oo , s e x -> - oo]])

Belê, sem assíntotas horizontais também já que esses limites deram infinitos

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia! Então temos que,

y^' = (root(3)(x^3 - x))^' = ((x^3 - x)^((1)/(3)))^' = ((x^3 - x)^((1)/(3))) ' (x^3 - x)^'

Lembrando que a derivada do polinômio e da função constante são:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Vamos então aplicar:

y^' = (1)/(3 (x^3 - x)^((2)/(3))) (3 x^2 - 1)

E logo:

y^' = (3 x^2 - 1)/(3 root(3)((x^3 - x)^2))

Agora vamos analisar os sinais!

Passo 4

Os intervalos de crescimento e decrescimento são os intervalos em que, respectivamente, a primeira derivada é positiva e negativa. Veja que o denominador 3 root(3)((x^3 - x)^2) vai ser sempre positivo por causa do termo ao quadrado, então vamos analisar o numerador:

3 x^2 - 1 = 0

3 x^2 = 1

x^2 = (1)/(3)

x = +- (1)/(sqrt(3))

x = +- (sqrt(3))/(3)

Analisando intervalos que contenham essas raízes e que contenham x = 0 e x = +- 1 também já que a primeira derivada não está definida nesse ponto, temos:

A setinha para cima indica que a função cresce e para baixo que ela descreve naquele intervalo

Passo 5

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de y^(' ') usando mais uma regra, a da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Seja

y^' = (3 x^2 - 1)/(3 (x^3 - x)^((2)/(3))) = (f (x))/(g (x))

Vamos ter:

f (x) = 3 x^2 - 1

f^' (x) = 6 x

E também:

g (x) = 3 (x^3 - x)^((2)/(3))

g^' (x) = 2 (x^3 - x)^(- (1)/(3)) (3 x^2 - 1)

Aplicando:

y^(' ') = (y^')^' = ((6 x) (3 (x^3 - x)^((2)/(3))) - (3 x^2 - 1) (2 (x^3 - x)^(- (1)/(3)) (3 x^2 - 1)))/([3 (x^3 - x)^((2)/(3))]^2)

y^(' ') = (y^')^' = (18 x * (x^3 - x)^((2)/(3)) - 2 * (x^3 - x)^(- (1)/(3)) * (3 x^2 - 1)^2)/(9 (x^3 - x)^((4)/(3)))

Dividindo em cima e em baixo por (x^3 - x)^(- (1)/(3))

y^(' ') = (y^')^' = (18 x * (x^3 - x)^((3)/(3)) - 2 * (3 x^2 - 1)^2)/(9 (x^3 - x)^((5)/(3)))

y^(' ') = (18 x * (x^3 - x) - 2 * (3 x^2 - 1)^2)/(9 (x^3 - x)^((5)/(3)))

y^(' ') = ((18 x^4 - 18 x^2) - 2 * (9 x^4 - 6 x^2 + 1))/(9 (x^3 - x)^((5)/(3)))

y^(' ') = (18 x^4 - 18 x^2 - 18 x^4 + 12 x^2 - 2)/(9 (x^3 - x)^((5)/(3)))

y^(' ') = (- 18 x^2 + 12 x^2 - 2)/(9 (x^3 - x)^((5)/(3)))

y^(' ') = (- 6 x ² - 2)/(9 (x^3 - x)^((5)/(3)))

Note que:

- 6 x^2 - 2 < 0

Sempre, ou seja, quem dita o sinal da segunda derivada é o denominador. Como o denominador é bem parecido com o denominador da primeira derivada, podemos analisar o sinal da segunda derivada nos mesmos pontos da outra vez: x = 0 , x = 1 e x = - 1 . Bora:

OBS: Como o numerador é sempre negativo, não vão existir pontos de inflexão pois nenhum ponto faz a segunda derivada zerar.

Passo 6

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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