Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as soluções da equação correta para oito casas decimais. Comece desenhando um gráfico para aproximações iniciais.

23 .   - 2 x 7 - 5 x 4 + 9 x 3 + 5 = 0

Passo 1

Para fazer o que o enunciado pede, vamos ter que usar a seguinte fórmula do método de Newton.

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Mas temos que passar nossa equação para forma de função, então:

f x = - 2 x 7 - 5 x 4 + 9 x 3 + 5

Mas se você reparar precisaremos de um x n inicial, um x 0 no caso, e como o enunciado não fornece, temos que escolher um. Vamos escolher a parti do desenho do gráfico e usar o x 0 mais próximo da raiz, abaixo temos o gráfico.

Se você reparar, nosso gráfico tem três raízes, então os pontos de melhor escolha são:

x 0 = - 1,7       x 0 = - 0,7       x 0 = 1,3

Você pode estar se perguntando, quando devo parar de fazer conta? Bem quando encontrarmos dois valores consecutivos iguais até a sexta casa decimal, que é a precisão pedida no enunciado, está na hora de parar e assim o primeiro na sequência dos repetidos é a nossa raiz.

Passo 2

Antes de começar a fazer conta, temos que escrever nossa equação na forma de função, então:

f x = - 2 x 7 - 5 x 4 + 9 x 3 + 5

E agora derivar essa função para usar na fórmula mostrada em 1 .

f ' x = - 14 x 6 - 20 x 3 + 27 x 2

Agora partimos para fórmula.

Passo 3

Vamos então usar a bendita fórmula, primeiro para x 0 = - 1,7 .

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

⇒ x n + 1 = x n - - 2 x n 7 - 5 x n 4 + 9 x n 3 + 5 - 14 x n 6 - 20 x n 3 + 27 x n 2

Então:

x 1 = - 1,7 - - 2 ( - 1,7 ) 7 - 5 ( - 1,7 ) 4 + 9 ( - 1,7 ) 3 + 5 - 14 ( - 1,7 ) 6 - 20 ( - 1,7 ) 3 + 27 ( - 1,7 ) 2

⇒ x 1 = - 1,7 - 1 , 09023459 - 161 , 6359659 9

⇒ x 1 = - 1 , 69325499

x 2 = - 1 , 69325499 - - 2 ( - 1 , 69325499 ) 7 - 5 ( - 1 , 69325499 ) 4 + 9 ( - 1 , 69325499 ) 3 + 5 - 14 ( - 1 , 69325499 ) 6 - 20 ( - 1 , 69325499 ) 3 + 27 ( - 1 , 69325499 ) 2

⇒ x 2 = - 1 , 69325499 - 0 , 02093080 - 155 , 45361714

⇒ x 2 = - 1 , 69312034

x 3 = - 1 , 69312034 - - 2 ( - 1 , 69312034 ) 7 - 5 ( - 1 , 69312034 ) 4 + 9 ( - 1 , 69312034 ) 3 + 5 - 14 ( - 1 , 69312034 ) 6 - 20 ( - 1 , 69312034 ) 3 + 27 ( - 1 , 69312034 ) 2

⇒ x 3 = - 1 , 69312034 - - 0,00 0007 - 155 , 33168771

⇒ x 3 = - 1 , 69312029

x 4 = - 1 , 69312029 - - 2 ( - 1 , 69312029 ) 7 - 5 ( - 1 , 69312029 ) 4 + 9 ( - 1 , 69312029 ) 3 + 5 - 14 ( - 1 , 69312029 ) 6 - 20 ( - 1 , 69312029 ) 3 + 27 ( - 1 , 69312029 ) 2

⇒ x 4 = - 1 , 69312029 - - 0,00000 05 - 155 , 33164245

⇒ x 4 = - 1 , 69312029

Como x 3 ≈ x 4 , logo nossa raiz é x 3 = - 1 , 69312029 .

Passo 4

Vamos então usar a bendita fórmula, agora para x 0 = - 0,7 .

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

⇒ x n + 1 = x n - - 2 x n 7 - 5 x n 4 + 9 x n 3 + 5 - 14 x n 6 - 20 x n 3 + 27 x n 2

Então mais uma vez essas contas chatinhas:

x 1 = - 0,7 - - 2 ( - 0,7 ) 7 - 5 ( - 0,7 ) 4 + 9 ( - 0,7 ) 3 + 5 - 14 ( - 0,7 ) 6 - 20 ( - 0,7 ) 3 + 27 ( - 0,7 ) 2

⇒ x 1 = - 0,7 - 0 , 87720860 18 , 442914

⇒ x 1 = - 0 , 7475634 4

x 2 = - 0 , 7475634 4 - - 2 ( - 0 , 7475634 4 ) 7 - 5 ( - 0 , 7475634 4 ) 4 + 9 ( - 0 , 7475634 4 ) 3 + 5 - 14 ( - 0 , 7475634 4 ) 6 - 20 ( - 0 , 7475634 4 ) 3 + 27 ( - 0 , 7475634 4 ) 2

⇒ x 2 = - 0 , 7475634 4 - - 0 , 06060712 21 , 00098999

⇒ x 2 = - 0 , 74467752

x 3 = - 0 , 74467752 - - 2 ( - 0 , 74467752 ) 7 - 5 ( - 0 , 74467752 ) 4 + 9 ( - 0 , 74467752 ) 3 + 5 - 14 ( - 0 , 74467752 ) 6 - 20 ( - 0 , 74467752 ) 3 + 27 ( - 0 , 74467752 ) 2

⇒ x 3 = - 0 , 74467752 - - 0.00022596 20 , 84437485

⇒ x 3 = - 0 , 74466667

x 4 = - 0 , 74466667 - - 2 ( - 0 , 74466667 ) 7 - 5 ( - 0 , 74466667 ) 4 + 9 ( - 0 , 74466667 ) 3 + 5 - 14 ( - 0 , 74466667 ) 6 - 20 ( - 0 , 74466667 ) 3 + 27 ( - 0 , 74466667 ) 2

⇒ x 4 = - 0 , 74466667 - - 0,000000 1 20 , 84378625

⇒ x 4 = - 0 , 74466667

Como x 3 ≈ x 4 , logo nossa raiz é x 3 = - 0 , 74466667 .

Passo 5

Vamos então usar a bendita fórmula, agora para x 0 = 1,3 .

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

⇒ x n + 1 = x n - - 2 x n 7 - 5 x n 4 + 9 x n 3 + 5 - 14 x n 6 - 20 x n 3 + 27 x n 2

Então mais uma vez essas contas chatinhas, parece que não acaba:

x 1 = 1,3 - - 2 ( 1,3 ) 7 - 5 ( 1,3 ) 4 + 9 ( 1,3 ) 3 + 5 - 14 ( 1,3 ) 6 - 20 ( 1,3 ) 3 + 27 ( 1,3 ) 2

⇒ x 1 = 1,3 - - 2 , 05720340 - 65 , 88532600

⇒ x 1 = 1 , 26877600

x 2 = 1 , 26877600 - - 2 ( 1 , 26877600 ) 7 - 5 ( 1 , 26877600 ) 4 + 9 ( 1 , 26877600 ) 3 + 5 - 14 ( 1 , 26877600 ) 6 - 20 ( 1 , 26877600 ) 3 + 27 ( 1 , 26877600 ) 2

⇒ x 2 = 1 , 26877600 - - 0 , 16078912 - 55 , 78827513

⇒ x 2 = 1 , 26589386

x 3 = 1 , 26589386 - - 2 ( 1 , 26589386 ) 7 - 5 ( 1 , 26589386 ) 4 + 9 ( 1 , 26589386 ) 3 + 5 - 14 ( 1 , 26589386 ) 6 - 20 ( 1 , 26589386 ) 3 + 27 ( 1 , 26589386 ) 2

⇒ x 3 = 1 , 26589386 - - 0.00125848 - 54 , 91626629

⇒ x 3 = 1 , 26587094

x 4 = 1 , 26587094 - - 2 ( 1 , 26587094 ) 7 - 5 ( 1 , 26587094 ) 4 + 9 ( 1 , 26587094 ) 3 + 5 - 14 ( 1 , 26587094 ) 6 - 20 ( 1 , 26587094 ) 3 + 27 ( 1 , 26587094 ) 2

⇒ x 4 = 1 , 26587094 - - 0,0000001 - 54 , 90937098

⇒ x 4 = 1 , 26587094

Como x 3 ≈ x 4 , logo nossa raiz é x 3 = 1 , 26587094 .

Resposta

x 3 = - 1 , 69312029

x 3 = - 0 , 74466667

x 3 = 1 , 26587094

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