Enunciado

Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 0 π 6 c o s s e c θ c o t g θ   d θ

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A segunda parte do teorema fundamental do cálculo, diz o seguinte:

Se f for contínua em [ a , b ] , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer antiderivada de f .

Passo 2

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

I = ∫ 0 π 6 c o s s e c θ c o t g θ   d θ

Mas a gente pode escrever da seguinte maneira:

I = ∫ 0 π 6 1 sin ⁡ θ ∙ cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

Mas repare que quando integramos de 0 até π 6 nós passamos pelo ponto 0 . E aqui temos um problema, pois a função cos ⁡ θ s e n 2 θ não está definida nesse ponto uma vez que o sen ⁡ 0 = 0 e o denominador seria 0 .

Isso quer dizer que a integral não existe, pois a função é descontinua em θ = 0 .

Resposta

Não existe.

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