Enunciado

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

F x = ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t

[Sugerstão:   ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t = - ∫ π x 1 + sec ⁡ t d t ]

Passo 1

Vamos achar F ' x pela Parte 1 do Teorema Fundamental que nos diz que:

g x = ∫ a x f t d t             a ≤ x ≤ b

é contínua em a , b e derivável em a , b e g ' x = f x .

Primeiro temos que trocar o sinal da integral para poder inverter os limites de integração, para poder deixar ela da forma acima:

F x = ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t = - ∫ π x 1 + sec ⁡ t d t

Assim temos que a = π e assim:

F ' x = - d d x ∫ π x 1 + sec ⁡ t d t = - f x = - 1 + sec ⁡ x

Resposta

F ' x = - 1 + sec ⁡ x

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