Enunciado

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ d x s e n 2 x

Passo 1

Essa integral com trigonometria não é igual à de polinômio, porque elas têm umas regras mais específicas. O que a gente tem que fazer é tentar encaixar essa integral em alguma que a gente conheça. Com essa cara aí ainda não dá pra concluir nada, mas lembra que:

c o s e c x = 1 s e n x

Assim,

∫ d x s e n 2 x = ∫ c o s e c 2 x d x

Essa integral a gente sabe!

Passo 2

Como já vimos na tabelinha de integrais imediatas, a integral do quadrado da cossecante é:

∫ d x s e n 2 x = - c o t g x + C

Essa foi bem direta!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. A derivada da constante, como a gente já sabe, dá 0 , então precisamos derivar só a cotangente.

d d x - c o t g ( x ) = - d d x c o s x s e n x

Derivando pela regra do quociente:

d d x - c o t g x = - - s e n x × s e n x - c o s x × c o s x s e n 2 x

d d x - c o t g x = s e n 2 x + cos 2 ⁡ x s e n 2 x

Da relação fundamental,

d d x - c o t g x = 1 s e n 2 x

Resposta

∫ d x s e n 2 x = - c o t g x + C

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