Enunciado

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

∫ 0 1 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x d x

Passo 1

Vamos chamar de f x = 1 + x 2 e g x = 1 + x .

Se sabemos que a raiz de um número maior é maior que a raiz de um número menor, e como x 2 ≥ x ⇒ 1 + x 2 ≥ 1 + x temos que:

1 + x 2 ≥ 1 + x

f x ≥ g x

Passo 2

Por definição, se f x ≥ g x , em a ≤ x ≤ b , então ∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x .

Logo:

∫ 0 1 f x d x ≥ ∫ 0 1 g x d x .

∫ 0 1 1 + x 2 d x ≥ ∫ 0 1 1 + x d x

Assim, vemos que a desigualdade do problema é incoerente com a propriedade das integrais.

Resposta

A desigualdade é falsa.

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Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade. ∫ 0 π 2 x sen ⁡ xd x ≤ π 2 8
Demonstre a propriedade 3 das integrais.
Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2
Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5
Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade 1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1