Enunciado

Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

35. ∑ n = 2 ∞ n ln ⁡ n n

Passo 1

Pela cara da série, dá para ver que podemos aplicar o teste da raiz, por causa do n como potência de tudo:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

Se L > 1 a série é divergente, e se L < 1 a série é absolutamente converente. Mas se L = 1 , não podemos dizer nada pelo teste.

Na nossa série ele fica:

L = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n n

Podemos tirar do módulo porque tudo dentro é positivo, até a função l n , porque n começa em 2:

L = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n n

Cortando a raiz com a potência:

L = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n

Passo 2

Para resolver o limite, vamos usar a regra de L’Hôpital. O problema é que não podemos aplicar diretamente, porque n não é contínuo, vamos fazer uma função que seja idêntica ao nosso problema:

f x = x ln ⁡ x

Aplicamos o limite nela

l i m x → ∞ f ( x ) = l i m x → ∞ x ln ⁡ x

E usamos L’Hôpital:

l i m x → ∞ f x = l i m x → ∞ 1 1 x = l i m x → ∞ x → ∞

Então:

L = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n → ∞

E como L tende para infinito, podemos dizer que a série é divergente

Resposta

D i v e r g e n t e

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Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n ! n n 4 n
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n n + 1 n 2
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ e - n . n !
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 5 n