Enunciado

Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão temos que utilizar todos os conhecimentos adquiridos até aqui para responder qual a situação da série acima. Vamos recordar que uma série absolutamente convergente também é convergente. E por isso nós testaremos primeiro isso.Se ela não for absolutamente convergente teremos que utilizar algum outro método para identificar se é convergente ou não.

A série que temos que testar pra saber se é absolutamente convergente é a série do exercício em módulo:

∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Assim todos os termos passam a ter apenas o valor positivo. De modo que podemos utilizar a seguinte série:

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n

Passo 2

O teste da convergência absoluta da série do exercício será confirmado se a série:

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n

For convergente.

Repare que eu consigo criar uma série parecida com essa e que é fácil de descobrir a convergência, além disso, a série é positiva para todos os termos. Por isso vamos utilizar o teste da comparação. Vamos relembrar o que diz o teste da comparação?

Eu posso descobrir a convergência de uma série qualquer, comparando-a com uma série de convergência conhecida (Se ambas forem positivas). Se a série desconhecida for sempre menor ou igual uma série convergente, ela também será convergente. Se for maior ou igual uma série divergente, então também será divergente.

Para comparação vamos utilizar a série:

∑ n = 2 ∞ 1 n

Que é uma p-série de p = 1 e por isso diverge.

Preste atenção nesse pulo do gato:

Guarde bem essa informação: Toda série que tiver a cara

∑ n = 1 ∞ 1 n p seguirá a seguinte regra:

Convergente se p < 1 . Divergente se p ≥ 1 .

E como comparamos essa série com a nossa série?

Ora, é simples. Basta vermos qual será maior ou menor ao longo do domínio.Temos que para qualquer valor de n .

ln ⁡ n < n

Ou seja:

1 ln ⁡ n > n

E, portanto, ...

∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n >   ∑ n = 1 ∞ 1 n  

De modo que sabemos que ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n diverge.

Então ∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Não pode ser absolutamente convergente. Mas ainda pode ser convergente.

Passo 3

Podemos perceber que essa série é uma série alternada. Pois no numerador temos o termo:

- 1 n

Que ficará alterando o sinal da série para cada valor de n .

Isso nos da uma dica de que é uma situação interessante para usarmos o teste das séries alternadas.E o que diz o teste das séries alternadas?

Diz que, que considerarmos uma série b n associada a série alternada que queremos investigar. De modo que b n considera apenas os valores absolutos dos termos. A série será convergente se cumprir duas condições:

  1. b n + 1 ≤ b n . Ou seja, a série tem que ter seus valores absolutos decrescente.
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Vamos testar a primeira condição:

Nosso b n é:

b n = 1 ln ⁡ n

Pois se estamos interessados apenas nos valores absolutos, podemos ignorar os elementos que causam apenas mudança de sinal.

E o b n + 1 :

b n + 1 = 1 ln ⁡ ( n + 1 )

Podemos perceber que para qualquer n . O valor de ln ⁡ n é crescente. Veja:

ln ⁡ 1 = 0 ;

ln ⁡ 2 = 0,693 … ;

ln ⁡ 3 = 1,0986 … ;

E assim segue. Ou seja, podemos afirmar com segurança que:

ln ⁡ n + 1 > ln ⁡ n

E, portanto:

1 ln ⁡ n + 1 < 1 ln ⁡ n

Pois, quanto maior o denominador. Menor o valor.

Ou seja,

b n + 1 < b n

Passo 4

Precisamos agora testar a segunda condição.

Calcular: lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n  

Situação em que temos um numerador constante, e um denominado indo em direção ao infinito. Sempre que tivermos esse caso poderemos dizer que o limite é 0 .

Ou seja:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n = 0

Assim sendo, a segunda condição também confere.

Pelo teste da série alternada temos que é uma série convergente.

Então, nossa série não converge absolutamente, mas converge. Logo, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

C o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e

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Determine se a série 2 5 + 2 ⋅ 6 5 ⋅ 8 + 2 ⋅ 6 ⋅ 10 5 ⋅ 8 ⋅ 11 +2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 + … é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) ((2 n + 1)^n)/(n^(2 n))
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) (3^n n^2)/(n !)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(k = 1)^(oo) (2^k k !)/((k + 2) !)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 0)^(oo) (n !)/(2 * 5 * 8 * * * * * ( 3 n + 2 ))