Enunciado

Use um recurso gráfico para fazer uma conjectura sobre os extremos relativos de f e, então, confira sua conjectura usando o teste da derivada primeira ou derivada segunda.

f x = x ln ⁡ x

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = 1 ⋅ ln ⁡ x + x ⋅ 1 x = ln ⁡ x + 1

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

ln ⁡ x + 1 = 0 → ln ⁡ x = - 1 → x = e - 1 = 1 e

Temos como pontos críticos então:

x = 1 e

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 1 x + 0 = 1 x

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então achar os valores das segundas derivadas nos pontos críticos, e analisar os sinais:

f ' ' 1 e = 1 1 e = e > 0

Pelo Teste da Derivada Segunda temos que x = 1 e é um mínimo relativo.

Passo 3

Vamos agora conferir pelo gráfico:

Por ele conseguimos ver que temos que x = 1 e ≈ 0,368 é um mínimo relativo.

Resposta

x = 1 e é um mínimo relativo

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