Enunciado

Use um recurso gráfico para fazer uma conjectura sobre os extremos relativos de f e, então, confira sua conjectura usando o teste da derivada primeira ou derivada segunda.

f x = x 2 e - 2 x

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = 2 x e - 2 x + x 2 e - 2 x - 2 = 2 x e - 2 x - 2 x 2 e - 2 x = - 2 x e - 2 x 1 - x

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

- 2 x e - 2 x 1 - x = 0

- 2 x e - 2 x = 0 e 1 - x = 0

x = 0 e x = 1

Temos como pontos críticos então:

x = 0 e x = 1

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 2 e - 2 x + 2 x e - 2 x - 2 + - 4 x e - 2 x - 2 x 2 e - 2 x - 2 =

= 2 e - 2 x - 4 x e - 2 x + - 4 x e - 2 x + 4 x 2 e - 2 x = 2 e - 2 x - 4 x e - 2 x - 4 x e - 2 x + 4 x 2 e - 2 x =

= 2 e - 2 x - 8 x e - 2 x + 4 x 2 e - 2 x

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então achar os valores das segundas derivadas nos pontos críticos, e analisar os sinais:

f ' ' 0 = 2 e - 2 ⋅ 0 - 8 ⋅ 0 ⋅ e - 2 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0 2 ⋅ e - 2 ⋅ 0 = 2 e - 0 - 0 + 0 = 2 > 0

f ' ' 1 = 2 e - 2 ⋅ 1 - 8 ⋅ 1 ⋅ e - 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 2 ⋅ e - 2 ⋅ 1 = 2 e - 2 - 8 e - 2 + 4 e - 2 = - 2 e < 0

Pelo Teste da Derivada Segunda temos que x = 0 é um mínimo relativo e x = 1 é um máximo relativo.

Passo 3

Vamos agora conferir pelo gráfico:

Por ele conseguimos ver que temos que x = 0 é um mínimo relativo e x = 1 é um máximo relativo.

Resposta

x = 0 é um mínimo relativo e x = 1 é um máximo relativo

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