Encontre os números críticos da função

f(x) = x^(-2) \* ln(x)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular os pontos críticos da função:

f x = x - 2 ln ⁡ x

Tem ideia de como fazemos isso?

Temos que um número crítico de uma função é o x quando:

f ' x = 0

Então para resolver esse problema temos que encontrar a derivada de f x e iguala-la a 0 .

Bora lá!

Passo 2

Podemos aplicar a regra do produto para calcular f ' x ...

Se f x = g x · h x , então:

f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Nesse caso:

g x = x - 2

h x = ln ⁡ x

portanto, pela regra da potência e pelo teorema fundamental do calculo, temos:

g ' x = - 2 x - 2 - 1 = - 2 x - 3

h ' x = 1 x

Assim, temos que f ' x é:

f ' x = - 2 x - 3 ln ⁡ x + x - 2 x

f ' x = - 2 x - 3 ln ⁡ x + x - 3

f ' x = x - 3 - 2 ln ⁡ x + 1

Reescrevendo f ' x ...

f ' x = - 2 ln ⁡ x + 1 x 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, igualando a zero, ficamos com:

- 2 ln ⁡ x + 1 x 3 = 0

Usando o princípio da multiplicação por zero, temos que:

- 2 ln ⁡ x + 1 = 0

2 ln ⁡ x = 1

ln ⁡ x = 1 2

Elevando os dois lados a e para isolar x em um lado da igualdade:

x = e 1 2

Portanto, x = e 1 2 é um ponto critico de f x !

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

x = e 1 2

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