Enunciado

Use a regra da cadeia para achar (d z)/(d t)

z = t g^(- 1) ((y)/(x)) , x = e^t , y = 1 - e^(- t)

Passo 1

O enunciado pede para calcularmos a derivada de z em relação a t usando a regra da cadeia.

Como z é uma função de x e y então a regra da cadeia fica o seguinte:

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

Isso significa que temos que calcular 4 derivadas

Passo 2

A primeira derivada que vamos calcular é a derivada de x em relação a t

(d x)/(d t) = (d)/(d t) (e^t) = e^t

Já a derivada de y em relação a t fica

(d y)/(d t) = (d)/(d t) (1 - e^(- t)) = - e^(- t) (- 1) = e^(- t)

Passo 3

Já a derivadas de z vão envolver a função arcotangente, então é bom lembrar que a derivada de arcotangente é

(a r c t g (p))^' = (1)/(1 + p ²)

Então a derivada de z em relação a x fica

(del z)/(del x) = (del)/(del x) (a r c t g ((y)/(x))) = (1)/(1 + ((y)/(x))^2) (- (y)/(x^2)) = - (y)/((1 + ((y^2)/(x^2))) x^2)

(del z)/(del x) = - (y)/(x^2 + y^2)

E a derivada de z em relação a y fica

(del z)/(del y) = (del)/(del y) (a r c t g ((y)/(x))) = (1)/(1 + ((y)/(x))^2) ((1)/(x)) = (1)/(1 + ((y)/(x))^2) ((x)/(x^2)) = (x)/((1 + ((y)/(x))^2) x^2)

(del z)/(del y) = (x)/(x^2 + y^2)

Show!

Passo 4

Agora a gente só precisa juntar tudo!

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

(d z)/(d t) = (- (y)/(x^2 + y^2)) e^t + ((x)/(x^2 + y^2)) e^(- t)

(d z)/(d t) = (- y e^t + x e^(- t))/(x^2 + y^2)

Para deixar como somente função de t vamos substituir x = e^t e y = 1 - e^(- t)

(d z)/(d t) = (- (1 - e^(- t)) e^t + e^t e^(- t))/((e^t)^2 + (1 - e^(- t))^2)

A gente podia ter terminado por aqui mas podia simplificar isso mais um pouco só por diversão, não é mesmo?

(d z)/(d t) = (- e^t + 1 + 1)/(e^(2 t) + (1 - e^(- t))^2) = (2 - e^t)/(e^(2 t) + (1 - e^(- t))^2)

E prontinho ^^

Resposta

(d z)/(d t) = (- (1 - e^(- t)) e^t + e^t e^(- t))/((e^t)^2 + (1 - e^(- t))^2) = (2 - e^t)/(e^(2 t) + (1 - e^(- t))^2)

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