Enunciado

Use o roteiro para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache a equação para assíntota obliqua.

y = 1 + 1 2 x + e - x

Passo 1

O primeiro passo (A )é determinar o domino da função. Ou seja, os pontos onde não há problema, nesse caso, como a função esta bem definida em qualquer ponto não (estaríamos dividindo por zero, por exemplo ) , então

D f = R

Passo 2

O segundo passo (B) é encontrar as interseções com os eixos coordenados.

-Com o eixo y

x = 0 ⇒ y =   2  

Não intercepta o eixo x

Passo 3

O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar, pois para   x =   - 1 , temos que f - 1 ≠ -     f ( 1 ) . Logo, nossa função é sem simetria

Passo 4

O quarto passo (D) é encontrar as assíntotas.

Percebe que como f está bem definida, então não temos assíntotas vertical .

Agora, precisamos achar a assíntota obliqua. Como,

y = 1 + 1 2 x + e - x

(soma de equação de uma reta com outra função)

Daí,

lim x → ∞ ⁡ [ f x - 1 +   1 2 x ] =   l i m x → ∞   e - x = 0  

Então a reta y =   x + 1 é assíntota obliqua .

Passo 5

Vamos para o passo E. Ou seja, achar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente além de nossos candidatos a máximo e mínimo.

Para isso, façamos

f ' x =   1 2 - e - x

Perceba que

f ' x > 0 ⇔ 1 2 > e - x   ⇔ - x < ln ⁡ 1 2   ⇔ x > - ln ⁡ 2 - 1 = ln ⁡ 2    

Então f é crescente em ( ln ⁡ 2 ,   ∞ ) e decrescente fora, ou seja, em ( - ∞ , ln ⁡ 2 )

(você pode testar isso, atribuindo valores para x )

Passo 6

No passo F, devemos usar o teste da primeira derivada. Ou seja, achar os máximos e mínimos, se eles existirem.

Como f sai de decrescente para crescente em x = ln ⁡ 2 ,   o ponto de máximo local é

f ln ⁡ 2 ≈ 1,85

Não tem mínimo

Passo 7

Vamos ao penúltimo passo, o G. Aqui devemos analisar a concavidade da função, para isso façamos

f ' ' x = e - x  

Temos que

f ' ' > 0 para qualquer x .Ou seja, f é sempre côncava para cima .

(você pode testar isso atribuindo valores para x )

Passo 8

Aqui vamos juntar todos os passos, ou seja, vamos desenhar o gráfico.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para a função dada no intervalo indicado. Então, ache um valor adequado de c que satisfaça as conclusões do teorema do valor médio
Se f for uma função definida por f x = 2 x - 4 - 6 , então f - 1 = 0 e f 5 = 0 . Mas f ' não se anula nunca. Mostre por que o teorema de Rolle não é válido.
Se f for uma função polinomial e f ( a ) , f ( b ) , f ' ( a ) e f ' ( b ) forem nulos, prove que existem pelo menos dois números no intervalo aberto ( a ,b ) que sejam raízes da equação f ' ' x = 0 .
Verifique se as três condições da hipótese do teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Então, ache um valor adequado de c que satisfaça a conclusão do teorema de Roll
Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflex