Enunciado

14 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo:

lim t → 0 ⁡ s e n   ( 5 t ) 2 t

Passo 1

Primeiramente vamos considerar t = 0.

s e n   ( 5 ⋅ 0 ) 2 ⋅ 0 = 0 0

Temo então uma indeterminação, para resolver este exercício aplicaremos a regra de l’ Hôpital, que consiste em derivar o numerador e derivar o denominador.

Considerando f t = s e n   ( 5 t ) e g t = 2 t

Para a regra teremos o seguinte:

l i m t → 0 f ' ( t ) g ' ( t )

Passo 2

Derivando f ( t )

Dado a regra de derivada:

x n = n x n - 1 Lembrando que a derivada de uma constante sempre será 0.

Para derivar esta função utilizaremos a regra da cadeia:

Resolvendo:

5   c o s ⁡ ( 5 t )

Derivando: g ( t )

2 ⋅ t 1 - 1 = 2

Passo 3

Inserindo as derivadas novamente e resolvendo o limite teremos:

l i m t → 0     5 cos ⁡ 5 t 2   = 5 ⋅ cos ⁡ 0 2 = 5 ⋅ 1 2 = 5 2  

Resposta

Logo o lim t → 0 ⁡ s e n   ( 5 t ) 2 t = 5 2

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Use Lh’ospital para determinar o limite lim x → 0 +⁡xs e c x
Use Lh’hospital para determinar o limite ⁡ lim x → 0 ⁡1 x 4 - 1 x 2
Use Lh’hospital para determinar o limite lim x → π 2 -⁡ sec ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x
Use Lh’hospital para determinar o limite lim x → ∞ ⁡x 3 x 2 - 1 - x 3 x 2 + 1
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ s e n ( m x ) s e n ( n x )