Enunciado

10 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo:

lim t → 1 ⁡ 3 t 3 - 3 4 t 3 - x - 3

Passo 1

Primeiramente vamos considerar t = 1.

3 - 3 4 - 1 - 3 = 0 0

Temo então uma indeterminação, para resolver este exercício aplicaremos a regra de l’ Hôpital, que consistem em derivar o numerador e derivar o denominador.

Considerando f t = 3 t 3 - 3 e g t = 4 t 3 - x - 3

Para a regra teremos o seguinte:

l i m t → 1 f ' ( t ) g ' ( t )

Passo 2

Derivando f ( t )

Dado a regra de derivada:

x n = n x n - 1 Lembrando que a derivada de uma constante sempre será 0.

Resolvendo:

3 ⋅ 3 t 3 - 1 - 0 = 9 t 2

Derivando: g ( t )

3 ⋅ 4 t 3 - 1 - 1 ⋅ x 1 - 1 - 0 = 12 t 2 - 1

Passo 3

Inserindo as derivadas novamente e resolvendo o limite teremos:

l i m t → 1   9 t 2 12 t 2 - 1 = 9 ⋅ 1 2 12 ⋅ 1 2 - 1 = 9 12 - 1 = 9 11  

Resposta

Logo o lim t → 1 ⁡ 3 t 3 - 3 4 t 3 - x - 3 = 9 11

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