Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ s e n ( m x ) s e n ( n x )

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma 0 0 ou ∞ ∞ . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando todas as regras que conhecemos de limite,

lim x → 0 ⁡ s e n ( m x ) s e n ( n x ) = s e n m ⋅ 0   s e n m ⋅ 0 =   s e n 0 s e n 0 = 0 0  

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

lim x → 0 ⁡ s e n ( m x ) s e n ( n x ) =     lim x → 0 ⁡ m   c o s ⁡ ( m x ) n   c o s ( n x ) = m ⋅ cos ⁡ m ⋅ 0   n ⋅ cos ⁡ n ⋅ 0 = m n

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n ( m x ) s e n ( n x ) =     m n

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