Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ s e n 2 x t g x 2

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma 0 0 ou ∞ ∞ . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando todas as regras que conhecemos de limite,

lim x → 0 ⁡ s e n 2 x t g x 2 = s e n 2 ( 0 ) t g 0 2 = 0 0

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

lim x → 0 ⁡ s e n 2 x t g x 2 =     lim x → 0 ⁡ 2   s e n x   c o s x 2 x s e c 2 ( x 2 ) =   lim x → 0 ⁡ s e n x   c o s x x s e c 2 ( x 2 )  

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

  lim x → 0 ⁡ s e n x   c o s x x s e c 2 ( x 2 ) =     s e n 0 ⋅ c o s 0 0 . sec 2 ⁡ 0 2     = 0 0

Passo 4

Perceba que temos que usar Lh’hospital mais uma vez, certo ? Então vamos lá.

lim x → 0 ⁡   s e n x   c o s x x s e c 2 ( x 2 ) =   lim x → 0 ⁡   c o s x   c o s x + s e n x - s e n x sec 2 ⁡ x + 2 s e c x ( s e c x ⋅ t g x ) =     l i m x → 0 cos 2 ⁡ x - s e n 2 x   sec 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x   ⋅ t g x  

Passo 5

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - s e n 2 x   sec 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x   ⋅ t g x   = cos 2 ⁡ 0 - s e n 2 ( 0 ) sec 2 ⁡ 0 2   + 2   sec 2 ⁡ 0 2   ⋅ t g ( 0 ) = 1 - 0 1 + 0 = 1  

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n 2 x t g x 2 =   1  

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