Enunciado

Nos Exercícios 7-12, use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.

y = 2 - x 2 ,   y = x 2 ,   x = 0

Passo 1

Lembrando do método da casca que é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Como o volume é em torno de y , o raio da casca é igual a x . Já a altura da casca é igual a diferença entre as curvas y = 2 - x 2 e y = x 2 .

Assim,

V = ∫ 0 1 2 π x 2 - x 2 - x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 x 2 - 2 x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 2 x - 2 x 3 d x

Passo 2

Calculando a integral:

V = 2 π ∫ 0 1 2 x - 2 x 3 d x = 2 π 2 x 2 2 - 2 x 4 4 0 1

V = 2 π x 2 - x 4 2 0 1 = 2 π 1 2 - 1 4 2 - 0 2 - 0 4 2

V = 2 π 1 - 1 2 = 2 π ∙ 1 2 = π

Resposta

π

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