Enunciado

  1. Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas (veja a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do quadrado 0,1 × 0,1 .
  2. Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área da superfície da parte (a) com precisão de quatro casas decimais. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a equação dada na seção 15.1 para calcular a integral de superfície e após isso utilizar um software para calcular com maior precisão o valor da integral.

Passo 2

Queremos calcular a seguinte integral:

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A   = ∫ ∫ D 2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ y 2 + 1 ⋅ d A  

Usando a regra do ponto médio, chegamos que os pontos dos quatro quadrados são 1 4 , 1 4 ,   1 4 , 3 4 ,   3 4 , 1 4   e   ( 3 4 , 3 4 ) . Assim, temos que, pela regra, nossa integral será

A S ≈ Δ A ⋅ 2 ⋅ 1 4 2 + 2 ⋅ 1 4 2 + 1 + 2 ⋅ 1 4 2 + 2 ⋅ 3 4 2 + 1 + 2 ⋅ 3 4 2 + 2 ⋅ 1 4 2 + 1 + 2 ⋅ 3 4 2 + 2 ⋅ 3 4 2 + 1 =

= 1 4 ⋅ 3 2 + 2 ⋅ 7 2 + 11 2 = 1.8279

Passo 3

Utilizando um software para calcular a integral A S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + 4 ⋅ x 2 + 4 ⋅ y 2 , chegamos em

A S ≈ 1.8616

Vemos que é uma aproximação numérica muito boa em comparação com o cálculo feito por um software. O erro está na segunda casa decimal.

Resposta

  1. A S ≈ 1.8279
  2. A S ≈ 1.86 16
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