Enunciado

2. Seja B um compacto com fronteira de conteúdo nulo e com interior nãovazio e seja δ (x, y) contínua em B. Seja α ≠ 0 um real dado. Considere amudança de coordenadas

x , y = s u + t v

Onde

u = cos ⁡ α i + sin ⁡ α   j

v =   - sin ⁡ α   i + cos ⁡ α j

Bxy é o conjunto B olhado em relação ao sistema xy e Bst é o conjunto Bolhado em relação ao sistema st. Observe que Bxy é a imagem de Bstpela mudança de coordenadas acima.

b. Seja ( x c ,   y c   ) o centro de massa de B no sistema xy e s c ,   t c no sistema st. Mostre que

x c ,   y c   =   s c u +   t c v    

Passo 1

Visto que o jacobiano é 1. Não deformamos o espaço. Logo nosso objeto dentro de B continua tendo o mesmo centro de massa independente do sistema de coordenadas que escolhamos. Só o que muda seria sua representação, assim podemos descobrir qual são os pontos através dessa matriz

x y =   cos ⁡ α - sin ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ α s t

Onde facilmente podemos substituir os valores por ( x c ,   y c   ) e s c ,   t c

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap e l a sc u r v a sy = 0ey = cos ⁡ x , - π 2 ≤ x ≤ π 2 ; ρ x , y = y é
Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap o ry = 1 - x 2e y = 0 ; ρ x , y = k y é
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a ∫ π / 2 π∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ
Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap o ry = x + 2e y = x 2 ; ρ x , y = k x 2 é
Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap e l a sc u r v a sy = e - x ,y = 0 ,x = 0 ,x = 1 ; ρ x , y = x y é