Enunciado

Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície z = 1 + x 2 ⋅ y 2 que está acima do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a definição para calcular a área da superfície e após isso, vamos utilizar um software para resolver a integral final.

Passo 2

Queremos calcular a seguinte integral:

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A   = ∫ ∫ D 2 ⋅ x ⋅ y 2 2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ y 2 + 1 ⋅ d A   =

= ∫ ∫ D 4 ⋅ x 2 ⋅ y 4 + 4 ⋅ x 4 ⋅ y 2 + 1 ⋅ d A  

Manipulando nosso domínio D , temos que o intervalo de integração, mantendo x fixo e variando y , será

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

Substituindo na integral e usando um software para o cálculo numérico, chegaremos no resultado de

A S ≈ 3.3213

Resposta

A S ≈ 3.3213

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é a região triangular delimitada pelas retas x = 0,y = x e 2 x + y = 6 ; ρ x ,y = x 2
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada por y = e x,y = 0,x = 0 e x = 1 ; ρ x ,y = y
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada por y = x,y = 0 e x = 1 ; ρ x ,y = x
A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é f x ,y = C x ( 1 + y ) , s e0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 0 , c a s oc o n t r á r i o á (a) Determine a constante C .(b) Determine P X ≤
Uma lâmina ocupa a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 2 y mas fora do círculo x 2 + y 2 = 1 . Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distânci