Enunciado

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de tamanho igual.

∭ B x e x y z d V

Onde B = x , y , z | 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 2 .

Passo 1

Para utilizarmos a Regra do Ponto médio, precisamos fazer o somatório:

∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 ∑ k = 1 2 f x - i , y - j , z - k Δ V

Para isto, precisamos dividir o nosso sólido em 8 partes iguais. Logo, precisamos subdividir cada um dos intervalos x , y e z em 2 partes. Pegando o ponto médio de cada uma dessas regiões, temos os seguintes pontos:

A = 1 ,   0.25 ,   0 . 5

B = 1 ,   0.25 ,   1 . 5

C = 1 ,   0.75 ,   0 . 5

D = 1 , 0.75 ,   1.5

E = 3 ,   0.25 ,   0 . 5

F = 3 ,   0.25 ,   1.5

G = 3 ,   0.75 ,   0.5

H = 3 ,   0.75 ,   1.5

Vamos calcular o valor da função em cada um destes pontos e multiplicar pelo volume da caixa, o qual é dado por:

Δ V = 2 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 1

Passo 2

Vamos então fazer o produto da função f x , y , z pelo Δ V para cada um dos pontos. Desta forma, temos:

1 e 1 ⋅ 0.25 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 1,13314

1 e 1 ⋅ 0.25 ⋅ 1 . 5 ⋅ 1 = 1,45499

1 e 1 ⋅ 0 . 7 5 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 1,45499

1 e 1 ⋅ 0 . 7 5 ⋅ 1 . 5 ⋅ 1 = 3,08021

3 e 3 ⋅ 0.25 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 2,52011

3 e 3 ⋅ 0.25 ⋅ 1 . 5 ⋅ 1 = 5,33509

3 e 3 ⋅ 0 . 7 5 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 5,33509

3 e 3 ⋅ 0 . 7 5 ⋅ 1 . 5 ⋅ 1 = 50,61794

Portanto, o valor final é dado pelo somatório de cada um destes resultados, o qual é:

∭ B x e x y z d V ≈ 70,93159

Resposta

∭ B x e x y z d V ≈ 70,93159

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