Enunciado

  1. Na Regra do Ponto médio para as Integrais Triplas usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla sobre uma caixa B, onde f ( x , y , z ) é calculada no centro ( x - , y - , z - ) da caixa B i j k . Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar ∭ B e - x 2 - y 2 - z 2 d V , onde B é o cubo definido po 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 . Divida B em oito cubos de tamanho igual.
  2. Use um sistema de computação algébrica para aproximar a integral da parte (a) com a precisão até duas casas decimais. Compare com a resposta da parte (a).

Passo 1

  1. Note que
  2. ∆ V = 1 2 3 = 1 8

    Então a Regra do Ponto Médio nos dá que

    ∭ B f x , y , z d V ≈ 1 8 f 1 4 , 1 4 , 1 4 + f 1 4 , 1 4 , 3 4 + f 1 4 , 3 4 , 1 4 + f 3 4 , 1 4 , 1 4 + f 3 4 , 1 4 , 3 4 + f 3 4 , 1 4 , 3 4 + f 3 4 , 3 4 , 1 4 + f 3 4 , 3 4 , 3 4 = 1 8 e - 3 1 / 4 2 + 3 e - 2 1 / 4 2 - 3 / 4 2 + 3 e - 1 / 4 2 - 2 3 / 4 2 + e - 3 3 / 4 2 ≈ 0.42968          

    Passo 2

  3. Um CAS estima a integral a ser ∭ B e - x 2 - y 2 - z 2 d V ≈ 0,42

A estimativa na parte (a) está correta para uma casa decimal e é maior que o valor real da integral.

Resposta

  1. ≈ 0.42968    
  2. ≈ 0,42
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Calcular o volume do sólido delimitado pelos planos y = 0 ,z = 0 ,x + y = 4 e pelo cilindro parabólico z = 1 - x 2 .
Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 16 .
Calcular o volume do sólido acima do paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo do cone z = x 2 + y 2 .
Calcular o volume do sólido acima do plano xy e interior às superfícies z = 9 - x 2 - y 2 e x 2 + y 2 = 1 .
Calcular o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x a + y b + z c = 1 .