Enunciado

Use a Regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento da elipse x 2 + 4 y 2 = 4 .

Passo 1

Queremos estimar o comprimento da elipse x 2 + 4 y 2 = 4 , vamos dividir ela por 4 , então nossa equação fica:

x 2 4 + y 2 1 = 1

E vamos parametrizar essa curva da seguinte forma x = 2 cos ⁡ t   ,         y = s e n   t ,       0 ≤ t ≤ 2 π

Assim, podemos usar a fórmula para comprimento de curva:

L = 4 ∫ 0 π / 2 d x d t 2 + d y d t 2 d t

L = 4 ∫ 0 π / 2 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t

L = 4 ∫ 0 π / 2 3 s e n 2 t + s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t

L = 4 ∫ 0 π / 2 3 s e n 2 t + 1 d t

Usando a Regra de Simpson com n = 10 ,     Δ t = π 2 - 0 10 = π 20

E f t = 3 s e n 2 t + 1 , ficamos com

L ≈ 4 3 π 20 f 0 + 4 f π 20 + 2 f π 20 + … + 2 f 8 π 20 + 4 f 9 π 20 + f π 2 ≈ 9,69

Resposta

L ≈ 9,6 9

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