Enunciado

Use a) a regra do trapézio, b) a regra do ponto médio, e c) a regra de Simpson para aproximar a a integral dada com os valores dados de n . (Aproxime sua resposta para seis casas decimais.)

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ 2 3 1 ln ⁡ t d t ,     n = 10

Antes de começar o exercício, vamos determinar qual será o tamanho do intervalo em análise:

Δ t = 3 - 2 10 → Δ t = 0,1

Vamos começar o exercício calculando a integral pela regra do trapézio, mas antes, vamos nos lembrar como é essa fórmula:

∫ a b f x d x ≅ T n = Δ x 2 f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n

Onde nós temos:

Δ x = b - a n ,     x i = a + i Δ x

Então, nesse exercício, aplicando a fórmula do trapézio, temos:

T 10 = 0,1 2 f 2 + 2 f 2,1 + 2 f 2,2 + 2 f 2,3 + 2 f 2,4 + 2 f 2,5 + 2 f 2,6 + 2 f 2,7 + 2 f 2,8 + 2 f 2,9 + f ( 3 )

Então, calculando os termos nos pontos de interesse:

f 2 = 1,443 ; f 2,1 = 1,348 ; f 2,2 = 1,268 ; f 2,3 = 1,201 ; f 2,4 = 1,142 ;

f 2,5 = 1,091 ; f 2,6 = 1,046 ; f 2,7 = 1,007 ; f 2,8 = 0,971 ; f 2,9 = 0,939 ;

f 3 = 0,910

Então, substituindo esses valores na equação anterior, o resultado será:

T 10 = 1,119064

Passo 2

Agora, na letra b), vamos utilizar a regra do ponto médio para estimar o valor da integral, para isso, vamos lembrar como é a fórmula do ponto médio:

∫ a b f x d x ≅ M n = Δ x f x - 1 + f x - 2 + … + f x - n

Onde:

Δ x = b - a n ,     x - i = 1 2 x i - 1 + x i

Então, para o nosso caso, a fórmula se torna:

M 10 = 1 10 f 2,05 + f 2,15 + f 2,25 + f 2,35 + f 2,45 + f 2,55 + f 2,65 + f 2,75 + f 2,85 + f ( 2,95 )

Então, precisamos calcular o valor da função nesses pontos, realizando os cálculos, temos:

f 2,05 = 1,393 ; f 2,15 = 1,306 ; f 2,25 = 1,233 ; f 2,35 = 1,170 ; f 2,45 = 1,116

f 2,55 = 1,068 ; f 2,65 = 1,026 ; f 2,75 = 0,988 ; f 2,85 = 0,955 ;

f 2,95 = 0,924

Então, substituindo esses valores na equação de cima e fazendo os cálculos, temos:

M 10 = 1,11810 5

Passo 3

Agora, por último, vamos aproximar a integral pela regra de Simpson. Relembrando rapidinho a fórmula, temos:

∫ a b f x d x ≅ S n = Δ x 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Onde nós temos:

Δ x = b - a n

Então, subsituindo os valores na fórmula, temos:

S 10 = 0,1 3 f 2 + 4 f 2,1 + 2 f 2,2 + 4 f 2,3 + 2 f 2,4 + 4 f 2,5 + 2 f 2,6 + 4 f 2,7 + 2 f 2,8 + 4 f 2,9 + f ( 3 )

Pra nossa sorte, esses são os mesmos valores para a função que calculamos no passo 1, onde temos:

f 2 = 1,443 ; f 2,1 = 1,348 ; f 2,2 = 1,268 ; f 2,3 = 1,201 ; f 2,4 = 1,142 ;

f 2,5 = 1,091 ; f 2,6 = 1,046 ; f 2,7 = 1,007 ; f 2,8 = 0,971 ; f 2,9 = 0,939 ;

f 3 = 0,910

Então, substituindo esses valores na fórmula anterior:

S 10 = 1,118425

Resposta

T 10 = 1,119064

M 10 = 1,118105

S 10 = 1,118425

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