Enunciado

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ - 2 0 x 2 + x   d x

Passo 1

Olá, Yuri aqui e estarei lhe ajudando a resolver essa atividade de integrais. Aqui precisamos resolver a integral utilizando o Teorema 4, pois bem.

O teorema 4 diz que:

∫ a b f ( x )   d x = lim x → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Com x i = a + i   Δ x e Δ x = b - a n    

Bora lá!

Passo 2

Da definição, temos que a =   - 2 e b = 0 .   Daí, Δ x = 0 - ( - 2 ) n = 2 n     e x i = - 2 + i   Δ x =   - 2 + 2 i n .

Substituindo, temos que

∫ - 2 0 x 2 + x   d x = lim x → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f - 2 + 2 i n 2 n =

Como o somatório não depende de n ,   podemos colocar para fora os termos que acompanham n

  lim x → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f - 2 + 2 i n 2 n = l i m x → ∞ 2 n   ∑ i = 1 n - 2 + 2 i n 2 + - 2 + 2 i n

Abrindo o quadrado perfeito,

  l i m x → ∞ 2 n   ∑ i = 1 n - 2 + 2 i n 2 + - 2 + 2 i n =   l i m x → ∞ 2 n   ∑ i = 1 n 4 - 8 i n + 4 i 2 - 2 + 2 i n

Arrumando as contas,

l i m x → ∞ 2 n   ∑ i = 1 n 4 - 8 i n + 4 i 2 - 2 + 2 i n =   l i m x → ∞ 2 n     ∑ i = 1 n 4 i 2 n 2 - 6 i n + 2  

Tirando o que não depende de i     do somatório,

  l i m x → ∞ 2 n     ∑ i = 1 n 4 i 2 n 2 - 6 i n + 2   =   l i m x → ∞ 2 n   4 n 2   ∑ i = 1 n i 2 - 6 n     ∑ i = 1 n i + 2  

Como temos uma fórmula:

∑ 𝑘 = 1 𝑛 𝑘 = 1 2 𝑛 𝑛 + 1

Aplicando ela:

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6  

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6  

∑ i = 1 n i = n n + 1 2  

Passo 3

Utilizando os resultados:

lim 𝑥 → ∞ ⁡ 2 𝑛   4 𝑛 2   ∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑖 2 − 6 𝑛     ∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑖 + 2   =

lim 𝑥 → ∞ ⁡     8 𝑛 3 ⋅ 𝑛 𝑛 + 1 2 𝑛 + 1 6   − 12 𝑛 2 ⋅ 𝑛 𝑛 + 1 2   + 2 𝑛 ⋅ 𝑛 2   =

Arrumando as contas e cancelando alguns termos,

lim 𝑥 → ∞ ⁡     8 𝑛 3 ⋅ 𝑛 𝑛 + 1 2 𝑛 + 1 6   − 12 𝑛 2 ⋅ 𝑛 𝑛 + 1 2   + 2 𝑛 ⋅ 𝑛 2 =

  lim 𝑥 → ∞ ���     4 3     𝑛 + 1 2 𝑛 + 1   𝑛 2 − 6 𝑛 + 1 𝑛 + 4 =

Reescrevendo colocando 1 𝑛 em evidência para que possamos cancelá-lo, temos que:

l i m x → ∞     4 3     n + 1 2 n + 1   n 2 - 6 n + 1 n + 4 =   l i m x → ∞       4 3   1 + 1 n 2 + 1 n - 6 1 + 1 n + 4 ]

Aplicando o limite,

  l i m x → ∞       4 3   1 + 1 n 2 + 1 n - 6 1 + 1 n + 4 = 4 3 1 2 - 6 1 + 4 = 2 3  

Resposta

∫ - 2 0 x 2 + x   d x = 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a área sob o gráfico de f x = 1 x de x = 1 a x = 2 usando quatro retângulos aproximados e pontos finais direitos. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é subestimada ou superestimada
Estime a área sob o gráfico de f x = sen ⁡ x de x = 0 a x = π 2 usando quatro retângulos aproximados e pontos finais direitos. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é subestimada ou superes
Ao ler os valores do gráfico dado de f , use cinco retângulos para induzir uma estimativa mais baixa e uma estimativa mais alta para a área sob o gráfico dado de f de x = 0 a x = 10 . Em cada caso, es
Avalie a soma de Riemann para f x = x - 1 ,- 6 ≤ x ≤ 4 , com cinco subintervalos, considerando os pontos de amostra como pontos finais direitos. Explique, com a ajuda de um diagrama, o que a soma de R
Se f x = cos ⁡ x 0 ≤ x ≤ 3 π 4 Avalie a soma de Riemann com n = 6 , pegando os pontos amostrais como os pontos finais esquerdos. (Dê sua resposta correta com seis casas decimais.) O que representa a s