Enunciado

Determine uma região cuja área seja igual ao limite dado. Não calcule o limite.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n π 4 n t g   π i 4 n

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos determinar uma região cuja área seja igual ao seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n π 4 n t g   π i 4 n

Lembrando que a gente não deve calcular o limite!!

Bom, galera, se lembrarmos da Definição 2, a área da função é dada por:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i . ∆ x

Onde:

∆ x = b - a n                     e                   x i = a + i ∆ x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Sendo assim, podemos assumir que:

f x i = t g   π i 4 n

Podemos concluir desta informação duas coisas:

f x = t g   x

E:

x i = π i 4 n

Se observarmos a fórmula original com esta obtida da função já conseguimos deduzir que:

a = 0

E o ∆ x ?

O que sobrou, não é?

∆ x = π 4 n

Com base nisto, o valor de b é:

b = π 4

Passo 3

Já temos tudo que precisamos, não é? Vamos relacionar tudo:

f x = t g   x ,                 0 ≤ x ≤ π 4

Como a função se repete a cada intervalo de 0 até π , a função também pode ser escrita como:

f x = t g   x - k π ,                 k π ≤ x ≤ k π + π 4

Onde k é um número inteiro.

Reparem que todos os valores acima permanecem iguais, comprovando nossa resposta!

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f x = t g   x ,                 0 ≤ x ≤ π 4    

ou

f x = t g   x - k π ,                 k π ≤ x ≤ k π + π 4

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