Enunciado

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)

∫ 0 3 1 1 + y 5 d y , n = 6

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 3 , e vamos usar n = 6 , e com f x = 1 1 + y 5 temos que ∆ x :
  2. ∆ x = b - a n = 3 - 0 6 = 1 2

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 6 = 1 2 ∆ x f 0 + 2 f 1 2 + 2 f 2 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 4 2 + 2 f 5 2 + f 3 = 1 2 ∙ 1 2 f 0 + 2 f 1 2 + 2 f 2 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 4 2 + 2 f 5 2 + f 3 ≈ 1,064275

    Passo 2

  3. Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 6 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:
  4. M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 6 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1 4 + f 3 2 + f 5 4 ∙ ∙ ∙ + f 9 4 + f 11 4 1 2 ≈ 1,067416

    Passo 3

  5. Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 6 = f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 2 2 + 4 f 3 2 + 2 f 4 2 + 4 f 5 2 + f 3 ∆ x 3 = f f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 2 2 + 4 f 3 2 + 2 f 4 2 + 4 f 5 2 + f 3 1 3 . 1 2 ≈ 1,074915

Resposta

  1. T 6 ≈ 1,064275
  2. M 6 ≈ 1,067416
  3. S 6 ≈ 1,074915
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