Enunciado

O valor exato da integral dada é π (confira). Aproxime a integral usando a a aproximação M 10 pelo ponto médio, b a aproximação trapezoidal T 10 e c a aproximação S 20 pela regra de Simpson usando a Fórmula 7 . Dê uma estimativa do erro absoluto e expresse suas respostas com pelo menos quatro casas decimais.

∫ 0 2 8 x 2 + 4 d x

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando as fórmulas das aproximações citadas.

Assim, temos três métodos. O primeiro deles é dado por aproximação pelo ponto médio:

M n = b - a n y m 1 + y m 2 + … + y m n

O outro é a aproximação trapezoidal dada por:

T n = b - a 2 n y 0 + 2 y 1 + … + 2 y n - 1 + y n

E o último é a regra de Simpson, que iremos usar a fórmula que depende dos resultados das outras duas regras:

S 2 n = 1 3 2 M n + T n

Com isso, podemos montar uma tabela para cada valor de y nos n subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho.

Para esse caso temos os seguintes valores:

n = 10 ,   a = 0 ,   b = 2

Passo 2

Então, montando uma tabela com as informações necessárias para o cálculo das duas primeiras aproximações, iremos ter:

Onde m n é o ponto médio, x n é o extremo do intervalo da aproximação trapezoidal e w n ´o multiplicador de cada termo na aproximação trapezoidal.

Então, a aproximação pelo ponto médio será:

M 10 = 2 - 0 10 15,712130

Portanto:

M 10 = 3,142426

O erro dessa aproximação é dado por:

E M = π - M 10 = π - 3,142426

Então:

E M = - 0,0008333

Já para a aproximação trapezoidal, teremos o valor de:

T 10 = 2 - 0 2 0 31,399260

Logo:

T 10 = 3,139926

E o seu erro tem o valor:

E T = π - T 10 = π - 3,139926

∴ E T = 0,0016666

Passo 3

Por fim, utilizando a fórmula citada para a regra de Simpson, vamos calcular:

S 2 0 = 1 3 2 M 10 + T 10 = 1 3 2 3,142426 + 3,139926

Que resulta em:

S 20 = 3,141593

E apresenta um erro de:

E S = π - S 20 = π - 3,141593

E S = - 3,464 × 10 - 7

Resposta

a   M 10 = 3,142426 → E M = - 0,0008333

b   T 10 = 3,139926 → E T = 0,0016666

c   S 2 0 = 3,141593 → E S = - 3,464 × 10 - 7

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em alguém infectado com sarampo, o nível de vírus N (medidos em número de células infectadas por mL de plasma sanguíneo) atinge um pico de densidade em cerca de t = 12 dias (quando uma erupção cutânea
A tabela mostra o número de pessoas por dia que morreram de S A R S EM Singapura em intervalos de duas semanas a partir de 1 de março de 2003 .Usando um argumento semelhante aso do Exemplo 4 , estime
Estime a área sob o gráfico de f x = 1 x de x = 1 a x = 2 usando quatro retângulos aproximados e pontos finais direitos. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é subestimada ou superestimada
Estime a área sob o gráfico de f x = sen ⁡ x de x = 0 a x = π 2 usando quatro retângulos aproximados e pontos finais direitos. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é subestimada ou superes
Ao ler os valores do gráfico dado de f , use cinco retângulos para induzir uma estimativa mais baixa e uma estimativa mais alta para a área sob o gráfico dado de f de x = 0 a x = 10 . Em cada caso, es