Enunciado

Use o resultado do Exercício 30 para mostrar o seguinte:

(b) Se b 2 - 3 a c < 0 e se a ≠ 0 , então a equação

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0

Tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Precisamos usar o Teorema de Rolle para provar essa afirmação.

Ele diz que se temos f ' x = 0 em um intervalo, a função tem duas raízes. Caso contrário, devemos ter menos do que duas raízes.

Se chamarmos f x = a x 3 + b x 2 + c x + d   e calcularmos a derivada:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Podemos verificar se esse derivada vai zerar em algum momento para comparar com o Teorema. Fazemos isso resolvendo a equação:

3 a x 2 + 2 b x + c = 0

x = - 2 b ± 4 b 2 - 12 a c 6 a = - 2 b ± 2 b 2 - 3 a c 6 a = - b ± b 2 - 3 a c 3 a

O enunciado diz que o valor dentro da raiz é negativo, por isso não há um valor de x real. O que diz para gente que não vamos ter um valor de x onde f ' x = 0 . O que implica, por causa do teorema, que nossa função deve ter obrigatoriamente menos do que 2 raízes.

Como x pode ter valores negativos, a equação do enunciado pode ter uma solução, mas terá apenas uma.

Resposta

Prova nos passos

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Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real. 2 x + cos ⁡ x = 0
Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real. x 3 + e x = 0
Encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo dado. Desenhe o gráfico da função, a reta secante passando pelas extremidades, e a reta tangente em (c, f (c)).
Use o grafico dado no exerciico 7 para etsimar os valores de c que satisfaçam àconclusao do teorema do valor medio pra [ 1,7 ]
Seja f x = x - 1 - 2 . Mostre que f 0 = f 2 , mas não existe c em 0,2 tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?