Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (x^2)/(x^2 + 9)

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!

😉

Passo 2

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.

Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x^2 + 9 != 0 .

Todavia, como x^2 + 9 > 0 .

Assim, o domínio são todos os números reais!!

D_f = R

Passo 3

Vamos fazer y = 0 para verificar as interseções em x :

0 = (x^2)/(x^2 + 9) :.

x = 0

Logo, a única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem ( 0,0 ) .

Passo 4

Para verificar a paridade, calculamos f (- x) :

f (- x) = ((- x)^2)/((- x)^2 + 9) :.

f (- x) = (x^2)/(x^2 + 9) :.

f (- x) = f ( x )

Então a função é par!

Como ela é par, ela apresenta simetria com relação ao eixo y .

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito positivo e negativo:

underset(x -> - oo)(lim) (x^2)/(x^2 + 9) = 1

underset(x -> + oo)(lim) (x^2)/(x^2 + 9) = 1

Assim, tanto para - oo como para + oo , a reta y = 1 é assíntota horizontal da função.

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula. Assim, podemos concluir que não há assíntotas verticais!

Passo 6

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar a função:

y^' = (2 x * (x^2 + 9) - x^2 * 2 x)/((x^2 + 9)^2) :.

y ' = (18 x)/((x^2 + 9)^2)

O sinal de y ' será:

Assim, o ponto ( 0,0 ) é ponto de mínimo local.

Passo 7

No estudo da concavidade, precisamos de y ' ' :

y^(' ') = (18 * (x^2 + 9)^2 - 18 x * 2 (x^2 + 9) * 2 x)/((x^2 + 9)^4) = (18 (x^2 + 9) - 72 x^2)/((x^2 + 9)^3)

Assim,

y^(' ') = - (54 ( x^2 - 3 ))/((x^2 + 9)^3)

Como (x^2 + 9)^3 > 0 , o termos que vai mandar no sinal de y ' ' é - (x^2 - 3) :

Os pontos (- sqrt(3) , (1)/(4)) e (sqrt(3) , (1)/(4)) são pontos de inflexão em que a concavidade da curva muda.

Dessa forma, com base nessas informações, temos o seguinte esboço:

Entendeu direitinho?? Responde aee!!! 😉

Resposta

O esboço da curva:

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