Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = root(3)(x^3 + 1)

Passo 1

Nós temos a função y = f (x) = root(3)(x^3 + 1)

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Como nossa raiz pode assumir qualquer valor, nosso domínio são os reais.
  2. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f (0) = 1 ; intercepto x : f (x) = 0 , então: x^3 + 1 = 0 -> x = - 1 .
  3. Não há simetria.
  4. Não há assíntotas.
  5. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  6. f (x) = root(3)(x^3 + 1)

    f^' (x) = (1)/(3) (x^3 + 1)^(- (2)/(3)) (3 x ²) = (x ²)/(root(3)((x^3 + 1)^2))

    f^' (x) > 0 harr x < - 1 , - 1 < x < 0 e x > 0

    Sendo assim, f cresce em todos os reais.

  7. Não há valores extremos, pois, a função apenas cresce.
  8. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
  9. f^(' ') (x) = ((x^3 + 1)^((2)/(3)) (2 x) - x ² (2)/(3) (x^3 + 1)^(- (1)/(3)) ( 3 x ² ))/([ (x^3 + 1)^((2)/(3)) ] ²)

    f^(' ') (x) = (x (x^3 + 1)^(- (1)/(3)) [ 2 (x^3 + 1) - 2 x^3 ])/((x^3 + 1)^((4)/(3))) = (2 x)/((x^3 + 1)^((5)/(3)))

    f^(' ') (x) > 0 para x < - 1 , ou x > 0 e f^(' ') (x) < 0 para - 1 < x < 0 , assim f tem concavidade para cima em ( - oo , - 1 ) , e em ( 0 , oo ) , e concavidade para baixo em (- 1,0) . Há ponto de inflexão em ( - 1,0 ) e em ( 0,1 ) , que é quando a derivada trocada o sinal.

    Passo 3

  10. Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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