Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x + c o s   x

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

y = x + c o s   x

Assim, precisaremos encontrar:

O domínio da função, que são os valores que o x pode assumir.

As interseções com eixos, que são os valores de x quando y = 0 e de y quando x = 0 .

Limites no infinito, onde faremos:

lim x → ± ∞ ⁡ x + c o s   x

Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:

Fazer um estuda da concavidade

E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Então vem ver tudo isso.

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.

Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.

No caso da nossa função, não existe nenhuma restrição que torna ela inválida.

Dessa forma, o nosso domínio são todos os números reais, ou seja:

D f = R

Passo 3

Agora precisamos achar os pontos de interceptação nos eixos.

Fazendo x = 0 , temos o ponto de interceptação no eixo y :

y = 0 + c o s   0

y = 1

Para encontrarmos o ponto de interceptação em x fica um pouco complicado, apenas utilizando métodos numéricos.

Assim, o ponto 0,1 que encontramos já nos dá uma boa base de entendimento.

Passo 4

Vamos verificar se há simetria fazendo f - x :

f - x = - x + cos ⁡ - x ∴

f - x = - x + cos ⁡ x

Logo, percebemos que essa função envolve tanto uma função par como uma função ímpar (somadas), ela não é par nem ímpar.

Além disso, devido a presença do polinômio x na função, ela não é periódica.

Passo 5

Como o cosseno é limitado entre - 1 e 1 , no infinito, o termo que vai dominar é x .

Assim, para ± ∞ , a curva vai se aproximar da reta y = x que é a assíntota oblíqua da função.

Dessa forma, não há necessidades de verificarmos se há assíntotas horizontais e verticais, pois a assíntota horizontal dessa função já exclui a possibilidade de haver outras assíntotas.

Passo 6

Vamos estudar agora o crescimento e decrescimento da curva fazendo a derivada da função.

Derivando a função y = x + c o s   x , temos:

y ' = 1 - s e n   x

Como 1 - s e n   x > 0 (exceto quando sen ⁡ x = 1 ), então a função é crescente.

Passo 7

Para a concavidade usaremos a segunda derivada:

y ' ' =   - c o s   x

Assim, o sinal do cosseno determinará a concavidade da curva: onde o cosseno for positivo, a concavidade será para baixo (negativa), e onde o cosseno for negativo, a concavidade será para cima.

No nosso caso, o cosseno é negativo, o que justifica a concavidade voltada para cima.

Assim, com base nessas informações, temos a nossa curva:

Observe que a função fica oscilando em torno da reta y = x .

Entendeu direitinho?? Responde aeee

Resposta

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