Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 10
Obtenha gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e use o cálculo para achar essas quantidades exatamente.
Passo 1
Bom galera, nesse exercício estamos interessados em encontrar o intervalo de decrescimento e crescimento da função, os valores extremos, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, iremos utilizar o gráfico da função e o cálculo de derivadas de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Derivando em relação a , temos
Derivando em relação a , temos
Podemos então fazer o seguinte gráfico
Passo 3
Pelo gráfico, podemos ver que cresce em e e decresce em , e . O valor de mínimo local é e não há valor de Maximo local. Podemos ver que possui concavidade para baixo em e e concavidade para cima em e . Não há pontos de inflexão. Para encontrar os valores exatos, iremos igualar a primeira e a segunda derivada a zero. Igualando a zero, temos
Igualando a zero, temos
Resposta
Nossa função está crescendo em e e decrescendo em e . Não há pontos de inflexão . Nossa função possui concavidade para cima em e e concavidade para baixo em e .