Enunciado

Obtenha gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e use o cálculo para achar essas quantidades exatamente.

f x 1 x 8 - 2   X   10 8 x 4

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em encontrar o intervalo de decrescimento e crescimento da função, os valores extremos, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, iremos utilizar o gráfico da função e o cálculo de derivadas de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Derivando f ( x ) em relação a x , temos

f ' x = - 8 x 9 + 8   X   10 8 x 5

Derivando f ' ( x ) em relação a x , temos

f ' ' x = 72 x 10 - 40   X   10 8 x 6

Podemos então fazer o seguinte gráfico

Passo 3

Pelo gráfico, podemos ver que f cresce em ( - 0.01 ,   0 ) e ( 0.01 ,   ∞ ) e decresce em ( - ∞ ,   - 0.01 ) , e ( 0 ,   0.01 ) . O valor de mínimo local é f 0.01 = - 10 16 e não há valor de Maximo local. Podemos ver que f possui concavidade para baixo em ( - ∞ ,   - 0.012 ) e ( 0.012 ,   ∞ ) e concavidade para cima em ( - 0.012 ,   0 ) e ( 0 ,   0.012 ) . Não há pontos de inflexão. Para encontrar os valores exatos, iremos igualar a primeira e a segunda derivada a zero. Igualando f ' ( x ) a zero, temos

0 = - 8 x 9 + 8   X   10 8 x 5

x = ± 2 2   X   10 8 4 = ± 1 100

Igualando f ' ' ( x ) a zero, temos

0 = 72 x 10 - 40   X   10 8 x 6

x = ± 18 10   X   10 8 4 = ± 0.0116

Resposta

Nossa função está crescendo em ( - 0 . 01 ,   0 ) e ( 0.01 ,   ∞ ) e decrescendo em ( - ∞ ,   - 0.01 ) e ( 0 ,   0.01 ) . Não há pontos de inflexão . Nossa função possui concavidade para cima em ( - 1 100 1.8 4 ,   0 ) e ( 0 ,   1 100 1.8 4 ) e concavidade para baixo em ( - ∞ ,   - 1 100 1.8 4 ) e ( 1 100 1.8 4 ,   ∞ ) .

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